ACADÉMIE DES SCIENCES 



SÉANCE DU LUNDI I î) NOVEMBRE 1917. 



PRÉSIDENCE DE M. l'.u i. PAINLEVÉ. 



MEMOIRES ET COMMUNICATIONS 



DES MEMBRES ET DES CORRESPONDANTS DE L'ACADÉMIE. , 



THÉORIE DES NOMBRES. — Sur le développement, en fraction continue 

 de Stephen Smith, des irrationnelles quadratiques. Note de M. G. Humbert. 



l. Objet de la Note. — Ayant eu, pour certaines vérifications, à déve- 

 lopper des irrationnelles quadratiques en fraction continue de Smith, j'ai 

 été frappé du nombre considérable de quotients incomplets égaux à 2 

 que présentent les parties périodiques de ces développements; de même, 

 dans les développements analogues en fraction continue ordinaire, se mani- 

 feste, bien qu'à un moindre degré, une fréquence nette des quotients 

 incomplets 2 et i. Les deux faits ont d'ailleurs entre eux une relation 

 étroite. L'explication du premier est l'objet de cette Note. 



Dans une première partie, j'expose, pour le développement de Smith 

 ^un nombre quadratique, des résultats assez analogues à ceux de la 

 théorie des fractions continues classiques; dans la seconde, je considère 

 simultanément les développements de plusieurs irrationnelles quadra- 

 tiques associées, en nombre égal, selon les cas, à trois, deux, ou même à un, 

 dont la première est arbitraire et qui sont modulairement équivalentes 

 entre elles : chacune d'elles, dans son développement de Smith, donne lieu 

 à une période, et je fais connaître, pour la somme totale des quotients 

 incomplets de ces périodes, une formule très simple, d'où l'on conclut de 

 suite que, parmi ces quotients, il en est nécessairement d'égaux à 2. C'est 

 évidemment l'explication du fait signalé plus haut. 



Dans une prochaine Note, j'indiquerai des relations qui lient les périodes 

 d'un groupe d'irrationnelles associées et la période du développement de 

 l'une d'elles en fraction continue ordinaire. 



G. R., 1917, r Semestre. (T. 105, N° 21 ) 9*^ 



