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2. Périodicilé. — Soit (a, b, c) une forme quadratique binaire indéfinie, 

 de déterminant D non carré, et proprement ou improprement primitive; 

 je désignerai ses racines par co' et w, en supposant w > o ; C sera la demi- 

 circonférence décrite, dans le demi-plan, sur le segment w'w, de Ox, 

 c®mme diamètre. 



r sera, comme dans des Notes antérieures (I et II) ('), le groupe des 



substitutions modulaires 



(Xp— f^V=l), 



où A + p et (j. + V sont pairs; à F con-cspond une division, A, du demi- 

 plan en triangles curvilignes (ibid.). 



On voit immédiatement que les substitutions \œ, r; Ax + vy, u-x -h py 

 qui changent (a, b, c) en elle-même, et qui sont de F (c'est-à-dire pour les- 

 quelles A -4- p et IX 4- V sont pairs) sont les puissances de l'une d'entre elles, S. 



Cela posé, il est évident que C et la droite x — co, quand on suit ces lignes 

 dans le demi-plan en se dirigeant vers le point w de O:^', Unissent par tra- 

 verser les mêmes triangles de la division A, et par les traverser de la même 

 manière (Note I). Or si G traverse «„ -i- i triangles de pointe jo„ : qn^ et dans 

 un certain sens (positif ou négatif), C traversera aussi, dans le même sens, 

 a„+ I triangles de pointe ( p„ ; q,t)'è, transformée de p„ : 7,, par S : cela ré- 

 sulte de ce que la substitution modulaire S, qui est de F, n'altère ni C, ni 

 la division A. Dès lors, l'interprétation géométrique (Note I) des ■211,, et 

 des i„ montre immédiatement que, dans le développement de Smith, 

 ponr co, 



(■) " = ^^«'+^.._ U' = ±'), 



il y aura, à partir d'un certain rang, une périodicité pour les 2a,, et une 

 périodicité correspondante pour les t„. 

 Si là période est 



2»l,,+ 



2 «li- 



rions la désignerons par 



2wj^' 2 m", 



(£;:-±l), 



(') Comptes rendus, l. 163, 1917, p. 211 el 253. 



