SÉANCE DU 19 NOVEMBRE 1917- 691 



Cl la période ainsi déterminée, à l'aide de S, sera dilc la période normale 

 de fo. 



3. Période mijiima. — Comme c'est le cas pour les fractions continues 

 ordinaires, la période normale n'est pas toujours la période niininia. 



1° Si a et r sont de même parité, la période normale est la période mi- 

 nima quand l'équation /' — D;r=: — i n'a pas de solutions entières; quand 

 elle en a, la période normale est la période ininima répétée deux fois. 



2<* Si a et c sont de parités contraires, la période normale est toujours la 

 période minima. 



Le npmbre des £, égaux à + i est toujours pair dans la période normale, 

 toujours impair dans la période minima, quand celle-ci n'est pas la période 

 normale. 



4. Périodicité simple. — La condition nécessaire et suffisante pour que co 

 (positif ) ail un développement périodique simple est que co^i, co'-<^i. 

 Pour étendre ce résultat au cas de co négatif, il faut adopter, pour to, un 

 développement (0 où les 2a, soient tous négatifs : ce serait celui de |co| où 

 l'on aurait changé les signes de tous les ({uotients incomplets, 2a,, sans 

 toucher aux £,. Alors : 



La condition nécessaire et suffisante pour ipie co (c/e signe quelconque ) ait 

 son déi'eloppement de Smith simplement périodique s'exprime par \(m\^ j , 

 I co I <:^ I . Ou encore : Les formes (a, h, c) dont une racine donne lieu à une 

 fraction de Smith sinipleme?it périodique sont les réduites ou semi-réduites 

 principales (mod2j; la racine en question est, en valeur absolue, la plus 

 grande des deux racines. 



Piappelons que (a, h, c) est réduite principale si l'on a r/ + c pair 

 et (a + (?)- — 4^' négatif; semi-réduite principale si a + c impair et 

 (a + c)- — '[Ir <C o. Enfin, si les deux quantités a(a ± 2 h -hc) sont néga- 

 tives, la forme (a, h, c) est réduite, ou semi-réduite, secondaire, selon 

 que a->r c est pair ou impair. 



h. Propriétés du déi,'eloppement . — Soit 



(P) lal' ic^^ . . . -?«;; 



la période normale du développement de co, racine positive de {a, b, c) : 

 1" Le nombre des réduites principales ( si a -i- c pair), ou celui des semi- 



