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réduites principales (si rt + c impair), qui équivalent à (r/, b, c) dans Y 

 [c'est-à-dire qui équivalent à (a, b, c) par une substitution où A + p 

 et a-f- V sont pairs] est le double du nombre, n, des termes de la période 

 normale (P). 



■2° Le nombre total des réduites (ou semi-réduites) principales et secon- 

 daires, qui équivalent à (o, è, c) dans F, est la somme S(a/,-i- i) étendue 

 aux quotients incomplets, ia^, de (P); celui des réduites (ou semi-réduites) 

 secondaires est i (^//, — i). 



3° Le nombre des réduites (ou semi-réduites) jo/v'wrv'^a/e* (a, p, y) équi- 

 valentes à («, b, c) dans F, pour lesquelles ay < o, est le double du nombre 

 des i^ égaux à -1- i dans (P); celui des (a, |î, y) analogues, pour lesquelles 

 ay > o, est le double du nombre des e égaux à — i . 



4° Le développement de la)'|, où w' est la seconde racine de (o, b, c), a 

 pour période normale (P) retournée, c'est-à-dire 



2a5" • 2af,"j,' ... 2 a 2' 201^". 



Il va sans dire que deux irrationnelles quadratiques, équivalentes 

 dans F, donnent lieu à la même période normale, à une permutation circu- 

 laire près. 



6. Irrationnelles associées. — Soit C une classe primitive de formes indé- 

 finies de déterminant D : les formes de C se répartissent en sous-classes, 

 C, dont cbacune renferme les formes de G qui s'équivalent dans F. 



D'après les résultats de la Note II, le nombre des G' se détermine 

 ainsi : 



1" Si G est une classe proprement primitive, il y a deux ou trois sous- 

 classes G', selon que «„ est impair ou pair, dans la solution positive mini- 

 mum (t„, //„) de /- — Dm- = i ; 



2" Si G est une classe improprement primitive, il y a une ou trois sous- 

 classes G', selon que u, est impair ou pair, dans la solution positive mini- 

 inuiii (/, , it,) de t'- — D;r' = 4- 



Ghoisissons maintenant, dans G, une forme {a, b, c) quelconque, ayant 

 une racine positive, w; elle appartiendra à l'une des sous-classes G'; dans 

 cbacune des autres sous-classes, choisissons de même arbitrairement une 

 forme, dont la racine modulairement équivalente à co soit positive. Nous 

 avons ainsi des irratioimelles quadratiques w, w', ..., en nombre égal à 

 trois, deux ou un, modulairement équivalentes, et nous dirons que 10', ... 



