SÉANCE DU 19 NOVEMBRE 1917. .69.3 



sont associées à (o, on que to, w', ... foriueiit un gi'oujip de nombres 

 (quadralifiues) associés. 



A ces nombres répondent respectivement, dans leur développement de 

 Smitli, des périodes normales : celles-ci demeurent les mêmes, à une per- 

 mutation circulaire près, quand on choisit différemment les formes de 

 racines w, w', . . . dans les mêmes sous-classes. 



7. Formules fondameni aies. — Représentons ces périodes normales par 



i 2 rt",' 2 «f^= ... 2 a^" 



\ ___ l ^'_. ((//, «; , . . . >o; c,, £,',...= 3: 1). 



•^On 



ce Tableau ayant trois^ deux ou une lignes (n° 6").' 



Désignons par ÎN(+) et N( — ) les nombres totaux des £,-, s' , . . . du 

 Tableau (T) qui sont respectivement -f- 1 et — i ; par R^ les réduites ou 

 semi-réduites principales (a, [5, y) d^s sous-classes C, pour lesquelles 

 a(a-|-2^ + YXo etaY>o; par R, celles analogues avec ay <; o. Il 

 résulte aisément du n" 5 (3°), que les nomlnes totaux des R„ et des R, sont 

 respectivement N( — ) et N(-t-). 



Si maintenant on effectue sur une Ro la substitution modulaire qui 

 transforme les points o, i, ccdeOa? en i,:o, o respectivement, cette R„ 

 devient, soit une R,, soit une réduite ou semi-réduite secondaire apparte- 

 nant à une des sous-classes C, ; et réciproquement. On en conclut que le 

 nombre, Nf — ), des R„ est égal à celui, N(-i-), des R,, augmenté du 

 nombre, —{a, — i ), des réduites secondaires considérées (n°."), 2°). La 

 somme 1 porte ici sur l'ensemble des termes ar/,, -la^ , . . . du Tableau ( T). 

 On a donc la formule fondainentale 



qui, combinée avec la relation évidente Z, = N(— ) -t- N(-i-), donne les 

 deux relations 



(2) ■ lai- 2N(-), 



(3) 2(«,— 2)=-2N(+). 



Le nombre N(-)-)est, par sa relation avec les R,, égal à celui des réduites 

 de (iauss pour la classe C; il n'est donc jamais nul; il est même pair, 

 puisque, dans toute période normale, le nombre des e égaux à -t- i est 

 pair (n" 3). 



