G9H ACADÉMIE DES SCIENCES. 



La série (8 ) est donc la série K.F. dans l'intervalle f o < r- < ^ j de la 

 fonction qui se trouve sous le signe / dans ie second membre de (11). 



'1. La théorie des séries R,F. nous apprend que la série (8) se comporte, 

 en chaque point - où a^^^jB, exactement comme la série de Fourier de la 

 fonction associée, l'allé converge donc en tout point c: pour lequel les séries 

 de F'ourier des fonctions suivantes^sont convergentes : 



v/siiT'2:-/(cos2c), ^/sin^o j 3,(2:). coséca; 0)2(2^) ; 



cette convergence aura lieu quand les séries de Fourier des fonctions sui- 

 vantes sont convergentes : 



/(G0S2;), o,(2c) el 00(2:). 



.5. Mais les deux dernières séries convergent uniformément, çi, et z,., étant 

 des intégrales. Pour démontrer ceci, calculons, en utilisant ( \) el (.)), 



-^;p„(cos())-o„(5)i = «coséc&;cos9P„-p„_,;- -^=0/^^ 



Par suite, et en raison de (3), la série dérivée 'de (9) converge unifor- 

 mément. La somme ç, de la série (9) est donc une intégrale. D'autre part, 

 ^., est aussi une intégrale, car (lo) est obtenue en intégrant terme à terme 

 la série de Fourier d'une fonction de carré sommable. 



6. Nous avons donc démontré que la série R.F. (8) se comporte en 

 chaque point de (a, (3) comme la série de Fourier de /(cos2:). Mais, 

 notre série de Legendre (1) est la somme de la série R.F. et d'une série 

 uniformément convergente. Le théorème du paragraphe 1 est donc 

 démontré. De plus, même si la condition (3) n'était pas vérifiée, la conver- 

 gence de la série de Legendre par les moyennes de Cesàro résulte immédia- 

 tement de celle de la série de Fourier. 



7. Faisons les remarques suivantes : 



Tout d'abord, il ne serait pas nécessaire de supposer connue la propriété 

 des séries intégrées des séries de Legendre, (|ui vérifient (3), d'après 

 laquelle ces séries convergent vers une intégrale. Il suffirait de recourir à 



la seconde série intégrée, qui converge uniformément vers / dfi / /■(cosO)û?0 



