SÉANCE DU 26 NOVEMBRE I917. 739 



Supposons, en effet, ce qui ne diminue pas la généralilé, qu'on ait choisi 

 les (o, (I)', ..., de manière que leurs développements de Smith soient sim- 

 plement périodiques; on peut même avoir choisi œ [c'est-à-dire la forme 

 (a, h, c) dans sa classe C], de manière que son développement en fraction 

 continue ordinaire soit simplement périodique, ce qui entraîne la même 

 propriété pour le développement de Smith. 



Considérons maintenant une des lignes de(T) où l'un des £ soit -+- i ; 

 supposons, par exemple, que ce soit la première, et que £^=-1-1. La 

 période normale de o) est ainsi 



2a/' 2«/' ... ar//* 2a/,+ ,"'*' .•■ 2«„«-, (£/,= !)• 

 Posons 



w/, = 2 a,,^., -4- — 



2a/,_|_2- 



2 a„ 



2«,-|-. j_ «A-l - 



2 0/,- 



2aA+i- 



Gette quantité (positive) co/, est ainsi définie par un développement de 

 Smith simplement périodique; on en conclut de suite l'équation 



/)<->/. -H S/,/'' 



W/, — y 1 



p ; q désignant la fraction indéfinie ci-dessus, arrêtée au terme £^_, : la,,, 

 inclusivement, et// : q' la fraction arrêtée au terme précédent. Les/), ...,q' 

 étant positifs et £/, étant 4- i, on voit que w/, est racine d'une équation 

 as^'-f- [3: -I- Y = o, où a>o, y<o, en sorte que la seconde racine est 

 négative. Cette seconde racine est d'ailleurs entre — i et -h i (Note précé- 

 cédente,n"4), puisque le développement de co^ est simplement périodique: 

 il en résulte que le développement ordinaire de w^ sera aussi simplement 

 périodique. Donc, il commencera par 



2 a/,+1 si £/,-i-i = H- i 



et par 



2a/,+i — i si £/,+! = — I. 



D'autre part, o)^ est un des quotients complets du développement de 

 Smith pour w; donc, évidemment, ±: lOf, équivaut modulairement à w : le 

 développement en fraction continue ordinaire de (M/, a donc la même 

 période que celui de w; et, puisqu'on connaît le premier terme de la 

 période de (à^ (à savoir -ia,,^i ou aa^^,— i), on connaît, par là même, 

 un des A,-. 



