74o ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Le même raisonnement s'applique à toute autre ligne de (T), dans 

 laquelle figure un signe -i-, et fournit aussi un terme A,, puisque w', ... 

 donnent lieu à la même période ordinaire que (o. 



De là la règle suivante : 



Soit, dans la période normale de Smith pour w ou pour Vun de ses associés, 

 un signe + , suivi du terme 2 m, suiifi lui-même de -q, (r\^±i), 



...-*-am^^ 



Il y a, dans la période ordinaire de oi, un terme A,- égal à 2 m + ■■ 



La réciproque s'établit de même, c'est-à-dire que, par cette règle, on 

 obtient tous les A,-. 



D'ailleurs, le nombre des A,- que donne la règle est égal à celui des 

 signes 4- dans (T ), donc à N(+), qui est aussi, on le sait, le nombre 

 effectif des A,. 



On saura donc, en parlant du Tableau ( T), former les A,-. 



12. Une proposition du même genre se déduit immédiatement de la 

 précédente. Si, en effet, on substitue à co, co', ... les irrationnelles conju- 

 guées, celles-ci forment encore un groupe de nombres associés; d'autre 

 part, les périodes normales qui leur correspondent sont celles de (T) 

 retournées; de même il faut retourner la période ordinaire (celle des A,), 

 et, par suite : 



Soit, dans la période normale de Smith pour co ou pour l'un de ses associés, 

 un signe -\-, précédé du terme ih, précédé lui-même de e, (s. =^ ±: i), 



. . ^ 2 /i + 



Il y a, dans la période ordinaire de w, un terme A, égal ci ih -^ Et 



tous les A, s'obtiennent ainsi. 



13. Les règles des n"^ 1 1 et 12 expliquent la fréquence des quotients 

 incomplets i et 2 dans les périodes des fractions continues ordinaires qui 

 représentent les irrationnelles quadratiques : en effet, (T) contient néces- 

 sairement des termes, 2a,, égaux à 2 (Note précédente), et il suffit que, 

 dans sa ligne, un de ces termes ?,o\\. précédé ou suivi d'un signe ^-,pourqu'il 

 y ait, parmi les A,, un terme 2 ou i. 



