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peut être mise sous la forme suivante : 



/„-, est un polynôme de degré n — i , que l'on a exprimé de diverses façons 

 au moyen des polynômes de Legendre de degrés inférieurs. Nous nous pro- 

 posons d'en donner une expression très simple, ne contenant que P„(^) et 

 le polynôme B„(s)y de degré inférieur à n, tel que 



A„{z)\>„{z)+B„(z)l\{z)^i. 



A„ étant un polynôme de degré inférieur à « — i . 



l . Entre deux polynômes B correspondant à deux polynômes de Legendre 

 de degrés « — i et /i + i existe la formule de récurrence suivante : 



On démontrera celte formule en prouvant que le premier membre, qui est 

 un polynôme d'ordre m — i, est nul pour in valeurs distinctes de z, à 

 savoir les « + i racines de P„+,(^) et les // — i racines de P,, ,(z). Soit, 

 par exemple, x une racine quelconque de P„+, (z) : on a 



B„+,{=«) 



et le polynôme devient 



On constatera aisément que celle expression est nulle en se servant des 

 formules de récurrence entre les polynômes de Legendre et leurs dérivées; 

 et l'on opérera de façon identique pour une racine de ?„_,(; ). 



Sachant alors que P„(i) = i et P„(— i ) = (— i)", nous déduirons de 

 cette formule que B„(i) = i et B„( — i) = (— i )" 



\"-<-i 



2. Ceci posé, nous écrirons, la variable d'intégration étant (, 



ou, après une intégration par parties, 



n„(r.)_ H„(-r , /-rA„-+-B;, 



!'„( = ) (c.^-i)P„(;) 



/- I a„+b;, _ 2<B,. 1 <n 



