778 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



avec le potentiel (i) se ramène à une équation intégrale de Fredholm. Le 

 problème est d'ailleurs différent du cas classique, car il y a ici à trouver 

 une co\xc\\e superficielle à la surface du conducteur et une distribution à Vin- 

 tèrieuT du conducteur, V électricité , pour k ^ o, ne se portant pas uniquement 

 à la surface. Dans le Mémoire cité, j'ai seulement énoncé certains résultats 

 concernant une équation fonctionnelle qui se présentait dans mon analyse, 

 résultats que j'avais démontrés dans mon cours. Je vais ici indiquer ces 

 démonstrations. Posons 



et désignons par s un point quelconque de la surface du conducteur. 

 L'équation fonctionnelle en question est l'équation intégrale du type de 

 Fredholm : ^ 



( 2 ) p,- '- f f f{ r ) cos 'h.o„ de = U,, 



OÙ <]/ désigne l'angle que fait avec la normale intérieure en s la droite joi- 

 gnant le point s à l'élément c?a-, et U, une fonction donnée sur la surface. Il 

 s'agit de démontrer que les valeurs singulières de À, c'est-à-dire les valeurs 

 de X, pour lesquelles l'équation sans second membre 



(3) p^.__ / //(/•) COS'];. p,f/<7z=o' 



adm-et une solution p non identiquement nulle, sont réelles et on/ une râleur 

 absolue supérieure à r unité. 



2. Rappelons d'abord quelques propriétés du potentiel de simple couche 



\r étant la distance du point (x, y, z-) à l'élément ch]. 



Ce potentiel satisfait à l'équation AV = /-"V; en outre il est continu pour 

 le passage à travers la surface, mais il n'en est pas de même pour la dérivée 

 normale. En désignant par '^ et ^ les dérivées limites pour l'intérieur et 



l'extérieur de la surface (la normale étant prise vers l'intérieur), on a en un 

 point s de la surface 



'llL^'Jl — r r 



du dii '' *" 



d\' d\ r f ., , 



