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tiqueinent nuls dans tout l'espace et par suite que la densité p est nulle, ce 

 qui est contraire au fait que A„ est une valeur singulière. Tous les A singu- 

 liers sont donc réels. 



3. Montrons maintenant que, A„ étant une valeur singulière, on a 



rM>'' 



Tégalité étant exclue. 



A cet effet, revenons à l'équation (4), dont nous multiplierons les deux 

 membres par Y (ou son égal V ), et intégrons après multiplication par da\ 

 on a 



>.„ = 



fP"^"'-fP'^'" 



Or nous avons vu qu'on avait l'inégalité 

 tandis que 



// 







et il résulte aussi de la formule de (Ireen, qu^aucune de ces intégrales n'est 

 nulle. Donc la valeur absolue de A^ est supérieure à l'unité, et A = dz i n'est 

 pas une valeur singulière. 



3. Pour le problème concernant la distribution électrique, l'équation 

 fonctionnelle intéressante est l'équation (2) pour X = i, c'est-à-dire l'équa- 

 tion 



{8) p,^-^ f f'/{r)cos6.p,dv=li,. 



La recherche de p se fait ici très facilement. Il suffit de développer, dans 

 l'équation (2), p suivant les puissances de X; les coefficients se calculent de 

 proche en proche. On est assuré, d'après le théorème ci-dessus, que la série 

 <iinsi obtenue converge pour A = i, et la résolution de l'équation (8) est 

 effectuée. 



De ce qui précède, il résulte que le problème de la distribution de 

 l'électricité est, au point de vue analytique, plus facile pour le potentiel 



— r-(^!>o) fjue pour le potentiel newtonien -• il en est de même d'ail- 



