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Étude sur tes fonnes binaires non quadratiques à indéterminées réellfs on 

 complexes, ou à indéterminées conjuguées. 



L'auteur ayant eu comme but déclaré l'interprétation et l'extension de la 

 célèbre méthode de réduction continuelle dHermite, rappelons d'abord 

 brièvement celle-ci. 



Si /(a:, y) est une forme binaire réelle dont les racines réelles sont a,, 

 a^, ..., et les couples de racines imaginaires |ÎJ,, '^\, ..., Hermite lui associe 

 la forme quadratique binaire et positive 



9 = l\ {X - y., yY 4- r- ( j; - «, j)= + . . . 4- 2 u\ [x _ 3, y ) (.r - ?; j) + . . . , 



OÙ les ï, M sont des paramètres réels; pour chaque système de valeurs 

 des /, M, il réduit ^ par une substitution S, qui, appliquée ensuite à f, donne 

 une forme équivalente, F; de là résulte, les t, a variant, un ensemble de 

 substitutions réductrices S, et de formes F. 



C'est parmi les F que Hermite détermine la réduite définitive de /. A cet 

 effet, il montre (et nous énoncerons les résultats en supposant que /' est 

 arithmétique, c'est-à-dire à coefficients entiers) que les modules des coeffi- 

 cients de F sont limités en fonction d'une quantité positive, 0, qui dépend 

 des t, u\ il choisit ceux-ci de manière à rendre le plus petit possible, et 

 appelle déterminant de / la valeur de ce minimum; la forme ip, dans 

 laquelle les t, u ont les valeurs choisies, est dite la correspondante de /', et 

 la forme F, qui dérive dey par la substitution qui réduit la correspondante, 

 est la réduite dey. 



Appliquant ces principes aux formes cubiques et aux formes biquadra- 

 tiques à racines réelles, Hermite obtient d'intéressants résultats arithmé- 

 tiques et algébriques. 



M. Julia, dans là première Partie de son travail, a cherché d'abord à carac- 

 tériser nettement l'ensemble des S et des F, en se plaçant à un point de vue 

 géométrique, et il s'est posé le problème suivant : 



Quand les t, u varient, quelle région du demi-plan analytique est décrite par 

 le point représentatif de la forme <f ? 



La réponse est d'une extrême simplicité : le domaine D cherché est un 

 polygone convexe, limité par des arcs de circonférence normaux à l'axe 

 réel, qui contient à son intérieur ou sur son périmètre tous les points 

 racines de y situés dans le demi-plan; ses sommets sont tous des points 



