SÉANCE DU lO DÉCEMBRE I917. 821 



racines. On en a une définition absolument précise en passant au plan non 

 euclidien dont le demi-plan est l'image bien connue. 



L'auteur en conclut que les S sont les substitutions modulaires qui trans- 

 forment un point, au moins, de D en un point du domaine fondamental 

 classique D„ du groupe modulaire; que les F sont les formes équivalentes 

 à /dont le domaine a au moins un point commun avec D„; que leur nombre 

 n'est fini, sauf une exception sans intérêt, que dans le seul cas où toutes les 

 racines de / sont imaginaires : on voit quelle clarté est ainsi jetée sur la 

 théorie d'Hermite. 



Reprenant ensuite l'étude de la fonction 0, M. Julia établit avec rigueur, en 

 suivant une indication d'Hermite, la limitation des coefficients de F en 

 fonction de 0, et l'existence du minimum de 0; il applique la théorie aux 

 formes cubiques et biquadratiques, déterminant, </«/J5/OM*/e5 c«5etavec une 

 remarquable simplicité géométrique, le point représentatif de la correspon- 

 dante : de là les conditions de réduction d'une forme et, si elle n'est pas 

 réduite, la substitution réductrice; les calculs effectifs ne peuvent en gé- 

 néral se faire que par approximation, puisque les racines de /ne sont pas 

 connues a priori, mais on peut pousser l'approximation assez loin pour 

 obtenir toujours une réponse décisive. 



La deurième Partie traite des formes binaires complexes qu'Hermité 

 n'avaitpas étudiées. 



A une telle forme, /(x,j), de racines a,, 7.^,..., l'auteur propose d'asso- 

 cier la forme quadratique positive, à indélerniinëes conjuguées, 



le symbole x étant celui d'une norme; pour chaque système (réel) de 

 valeurs des t, il réduit î-, selon les principes d'Hermite, par une substitu- 

 tion S, à coefficients entiers complexes, de déterminant un, d'où un ensemble 

 de S et de formes /S, ou F, équivalentes à/. 



L'interprétation géométrique se fait dans le demi-espace, divisé en domaines 

 du groupe de Picard : les t variant, le point représentatif de cp décrit un 

 polyèdre convexe, D, à faces sphériques, orthogonales au plan base du demi- 

 espace, et dont les sommets sont les points racines de/, situés tous dans ce 

 plan; les S et les F se caractérisent alors comme dans le cas réel, le 

 domaine fondamental ordinaire du groupe de Picard jouant ici le rôle 

 deD„. ■ 



Pour choisir une réduite parmi les F, M. Julia introduit encore le mi- 

 nimum, dit déterminant de/, d'une fonction, 0, des /; il en tire la notion de 



