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la forme ç, correspondante de /, et celle de la F qui est la réduite cherchée; 

 il montre que les modules des coefficients de celle-ci sont limités, en fonc- 

 tion du déterminant, retombant ainsi sur un cas particulier d'un théorème 

 célèbre de M. Jordan. 



Après quelques remarques intéressantes sur les propriétés de covariance 

 de la correspondante par rapport à la forme/, l'auteur, en regardant les 

 formes réelles comme un cas spécial des formes complexes, donne l'expli- 

 cation d'un fait « important » qui avait frappé Hermite, sans qu'il pût en 

 « découvrir la raison générale », à savoir que l'expression du déterminant 

 en fonction des racines d'une forme réelle reste la même quel que soit le 

 nombre de racines imaginaires, et bien que les calculs de vérification diffé- 

 rent profondément selon ce nombre. 



Enfin, la deuxième Partie se termine par l'étude complète des formes 

 cubiques et biquadra tiques complexes; l'auteur y rencontre des théorèmes 

 de géométrie non euclidienne d'une extrême élégance, grâce auxquels il 

 détermine simplement et nettement le point représentatif de la correspon- 

 dante, point dont la position dans le demi-espace lui fournit immédiatement 

 la substitution réductrice de la forme initiale. 



La troisième l'artie, quoiqu'elle ne concerne que des formes particulières, 

 et principalement celles qui se décomposent en un produit de formes qua- 

 dratiques à indéterminées conjuguées (formes d'Hermite) offre des 

 résultats curieux et nouveaux. 



l^es plussimples se rapportentaux formes/= /",/.,, où /, et ^ sontdeux 

 formes d'Hermite : à /", M. .Tulia associe la forme d'Hermite, toujours 

 définie, ^ = t\':^^ -\- t'i'^^\ ç, est la forme/ elle-même, si celle-ci est définie; 

 sinon, c'est la forme quadratique définie la plus générale dont le point 

 représentatif est sur la demi-sphère représentative de /, et que M. Picard 

 a déjà considérée. 



(xrâce à ce choix iieureux de î<, l'auteur peut montrer que. t, et /o variant, 

 le point représentatif de cp décrit, dans le demi-espace, un domaine 

 polyédral. limité, en général, par des portions de splière et des portions de 

 cyclide de Dupin : c'est la première fois que cette cyclide apparaît dans 

 l'Algèbre et l'Arithmétique. De là résulte encore un ensemble de substi- 

 tutions S du groupe de Picard, et de F équivalentes à/, avec une interpré- 

 tation géométrique simple et une généralisation des notions de déterminant, 

 de correspondante, de réduite. 



Au cours de la recherche, M. Julia établit ce résultat important que, si 

 deux formes indéfinies d'Hermite ont leurs demi-sphères, a, et a^, sécantes. 



