SÉANCE DU lO DECEMBRE I917. 823 



les deux groupes automorphes, a cercle principal, qui sont liés respecti- 

 vement, d'après M. Picard, aux transformations semblables de ces formes, 

 ont en commun un sous-groupe cyclique, formé par les puissances d'une 

 substitution hyperbolique; grâce à ce théorème et à une réciproque, il 

 ramène les formes y" à des types canoniques très simples et en déduit une 

 théorie sans lacunes de la réduction, tant pour les formes / que pour 

 d'autres formes qui leur sont apparentées et qui se présentent naturelle- 

 ment dans la discussion. 



M. Julia, enfin, donne la solution complète du problème suivant : 

 « Trouver toutes les formes binaires, à indéterminées conjuguées, et de degré 

 supérieur à deux, qui restent invariantes par un groupe de substitutions 

 linéaires » : l'analogie avec les formes binaires ordinaires faisait penser 

 qu'on ne rencontrerait que des formes répondant aux groupes /inis 

 classiques; à côté de celles-là, l'auteur en découvre d'autres, d'ailleurs 

 décomposables, qui restent inaltérées par les substitutions d'un groupe 

 injini cyclique ; elles se rattachent au théorème que nous avons signalé plus 

 haut. 



En résumé, dans les deux premières Parties de son remarquable travail, 

 l'auteur développe, avec toutes ses conséquences, une interprétation géomé- 

 trique des méthodes de réduction continuelle, celle d'Hermile d'abord, 

 celle ensuite qu'il propose lui-même dans le champ complexe; cette inter- 

 prétation, d'une rare simplicité, rend intuitives bien des propriétés de la 

 réduction et prendra place à côté de celles, classiques aujourd'hui, mais 

 applicables au seul cas quadratique, qu'ont fait connaître Stephen Smith et 

 M. Bianchi; elle apporte à l'Arithmétique des formes de degré supérieur 

 un perfectionnement important, dont les applications aux formes cubiques 

 et biquadratiques soulignent l'intérêt. 



La roisième Partie, d'une inspiration analogue, conduit, sur bien des 

 points, à des résultats neufs et inattendus; l'auteur continue à s'y montrer 

 ingénieux et habile dans le maniement des théories combinées de l'Arith- 

 métique, de l'Analyse et de la Géométrie, fusion heureuse qui semble la 

 marque de son talent. 



Aussi, à l'unanimité, la Commission propose-t-elle d'accorder le prix 

 Bordin à M. Gaston Julia et d'insérer son travail dans les Mémoires de 

 l'Académie. 



L'Académie adopte la proposition de la Commission. 



