SÉANCE DU 17 DÉCEMBRE I9Ï7. 99^ 



Nous disons qu'un point m appartient au domaine D^ du point a s'il est 

 le centre d'un cercle dans lequel les fonctions /',/,, ..., fn tendent unifor- 

 mément vers a. Le domaine ouvert D^ admet comme frontière F un 

 ensemble parfait, donc sans points isolés (en exceptant le cas des substi- 

 tutions linéaires). En un point yo de F les fonctions/,, ne peuvent pas former 

 une suite normale, au sens de M. Montel; il s'ensuit (ju'elles prennent toutes 

 les valeurs sauf deux au plus dans un cercle quelconque de centre p. Pour 

 qu'il y ait une ou deux valeurs exceptionnelles, il faut et il suffit que la 

 substitution se ramène, par une même substitution linéaire effectuée sur z 

 et ;,, à l'une des deux formes 



2,;= polynôme en ;; (valeur exceptionnelle 00) 

 OU 



;, =: k ;*'" (valeurs exceptionnelles o et o) ). 



Réciproquement, tout point p autour duquel les /'„ ne forment pas une 

 suite normale est frontière des domaines tels que D^ ou de ceux qui corres- 

 pondent à un cycle limite de points périodiques (a,, a^, .. ., a^) et qu'on 

 définit d'une manière analogue. S'il y a plus de deux points limites ordinaires 

 ou périodiques, un seul des domaines correspondants peut être d'un seul 

 tenant, les autres étant formés d^une infinité de régions sans connexions entre 

 elles. 



Exemple : ^, = :;' — i ; on a ici le point limite = = 00 et le cycle limite 

 (o, — i). Les domaines D„, D.., sont formés d'une infinité de régions dis- 

 tinctes et simplement connexes. Le domaine D^ est au contraire d'un seul 

 tenant. On montre que tout point du plan appartient à D„, D—,, D., ou à 

 la frontière. 



11. Il résulte de ce qui précède que la frontière F est l'ensemble 

 dérivé des antécédents d'un point quelconque du plan autre que les points 

 exceptionnels, s'il y en a. En particulier F est le dérivé de l'ensemble des 

 antécédents d'un quelconque de ses points. Si l'on considère le domaine 

 restreint d^ du point a, d'un seul tenant avec a, et sa frontière J\ f est 

 dérivé des antécédents d'un de ses points, obtenus par les branches des 

 fonctions inverses des /„ qui ne font pas sortir de d^. 



Parmi les points frontières se trouvent des points doubles à multiplica- 

 teur > I en module. Il y a en général de tels points, comme il résulte de la 

 relation 



