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i; étendue aux points doubles de la substitution, A' degré de /"(s). Cette 

 relation est en défaut s'il y a un * = i. Si elle a lieu, on en conclut facile- 

 ment qu'il y a un j .V ! > I. Soient ^ un tel point, /■ un petit domaine entou- 

 rant fl; /•,, r.,, ..., /•„, ... ses conséquents; pour n assez grand chacun 

 des /•„ recouvre tout le plan sauf l'entourage des points exceptionnels, s'il y 

 en a. Même propriété pour les points d'un cycle à multiplicateur > i . 



Quant aux points doubles pour lesquels s''=i, ils sont en même temps 

 points frontières et points limites. 



III. Soit (a,, et.,, ..., y.j,) un cycle de points périodiques à multiplica- 

 teur <^ I. On démontre que l'un au moins des domaines D^p D,; , ..., D„ 

 renferme un point critique de la fonction inverse àe f i^z) ('). Le nombre (les 

 cycles de cette espèce est donc limité. Il en est de même si l'on considère les 

 cycles de multiplicateur inférieur ou égal à i en module. Les cycles de 

 points périodiques, étant en nombre illimité, sont, à partir d'un certain rang, 

 à multiplicateur ■< i et font partie de F. Ils sont denses sur F. La propriété 

 énoncée au paragraphe II pour les points ^ subsiste pour tous les points 

 frontières. 



On peut, grâce à cela, préciser ce qui a été dit pour l'exemple de I. Ces 

 domaines partiels qui constituent D,, el D, sont tels que tout point frontière 

 de l'un d'eux est limite d'une infinité de ces petits domaines dont les dimen- 

 sions linéaires tendent vers zéro. Entre tous ces petits domaines viennent 

 s'infiltrer des points du domaine d'un seul tenant D„ sans qu'il soit 

 possible d'entourer aucun d'eux d'un contour appartenant à D, (qui est 

 simplement connexe à proprement parler quand on le représente sur la 

 sphère), sans les entourer tous. On voit combien est compliqué ce mode de 

 division du plan. 



IV. Les propositions précédentes sont à rapprocher des cas particuliers 

 déjà étudiés par nous, dont l'étude est d'ailleurs facilitée par la remarque 

 suivante : si la région définie par |y'(s)|<^i appartient au domaine du 

 point double a (à distance finie), tout point qui n'est pas dans D^ est un 

 point frontière ou éventuellement un point de D^ . 



Nous avons donné de nombreux exemples dans lesquels le domaine d'un 

 point a comprend tout le plan, sauf un ensemble parfait discontinu. 11 peut 



( ' ) Ce fait se déduit aisément des théorèmes de M. iMonlel sur les suites normales 

 de l'oiictions analytiques. 



