SÉANCE DU 24 DÉCEMBRE 1917. I047 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sitr la convergence des séries de Fourier et des 

 séries de Taylor. Note de MM. (Î.-H. Haudy el J.-E. Lutléwood, pré- 

 sentée par M. liadamard. 



I . M. Fatou a considéré dans sa Thèse ( ' ) les séries trigonométriques 



(1) - A^-h V A„— -a^-{-'^{an cosnO + h„ sinnO) 



satisfaisant aux conditions 



(2) lim/((7„^i), \\in/i/>„--o; 



et il a donné une condition nécessaire et suffisante pour qu'une telle série, 

 qui est évidemment la série de Fourier d'une fonction sommable/(G), soit 

 convergente. Nous allons généraliser le résultat de M. Fatou en remplaçant 

 les conditions (2) par les conditions plus générales que [na,, \ et \nh„ | soient 

 bornées. 

 On a, en effet, le théorème suivant : 



Théorèmf, I. — Pour que la sérif 



«0 -t-^(a„ cos/i + h„ iinnO) '-^f{0), 

 où 



(3) |««„|<i, \uO„\<i. 



soi/ convergente pour une valeur donnée de 0, il faut et il suffit que 



^0 rX 



(4) <!>{ry.)-^^l fU)dl 



-.0 rX 



■'0-ï 



tende vers une limite déterminée quand a tend vers zéro. 



a. La condition est suffisante. C'est une conséquence presque immédiate 

 des théorèmes connus concernant la sommabilité des séries divergentes. 

 D'après un théorème de M. Lebesguc (-), l'existence de la limite (4) en- 

 traîne la sommabilité de la série y A„par les moyennes de Cesàro d'ordre -i. 



(') Acta inallu'tnalica^ t. 30. 



(■-) Malhcmatische trtna/rn, l. (il. 



