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Mais, |«A„| étant borné, la sommabililé de la série entraîne sa conver- 

 gence ('). On pourrait l'établir autrement en démontrant (au moyen de 

 Tintégrale de Poisson, comme le fait M. Fatou) l'existence de la limite 



lîmV A„/", 



et en faisant application d'un tbéorème de Littlewood (-). 



b. La condition est nécessaire. La démonstration se fonde sur le lemme 

 suivant : La série V A„ étant convergente, on a 



tu 



lim m-i'y al' k,,^ o, 



l'-NIFORMEMENT POUR TOUTES LES VALEURS ENTIÈRES POSITIVES DE/». Cela étant, UOUS 



posons 

 d'où 



pour les valeurs suffisamment petites de y.], et nous supposons, pour sim- 

 plifier l'écriture, que a„ = o. Alors on a 



a.(..)=.VA„ii;^=V_,.V^<i.. + .i..; 



et 



d'où 



y. ^nd /i- m y. /, 



—J -<— ' (2/;-i-i)! -^ (2/> H- I)! .^ 



i',-y.A„ 



<^y 



1 



{ma)-'' 

 ( 3 /' + I ) ! 



< £ e"'*< j e'' 



(') Hardv, /•'/•'/c. Loncldii Malh. Suc. t. S. 

 (-) Pioc. Loiidon Malh. Suc, t. !t. 



