SÉANCE DU 24 DÉCEMBRE I917. Io49 



pour m > rn„{t). Donc 



.l'-V A„ 



^-Hse'-'+E 



pour w >-/»o(î). l-ifi nombre positif étant donné, on peut prendre 



/ t '-' -A- 



o o 



et l'on en tire 



pour JH > /;/,|(o), c'est-à-dire pour o <; y. < y-„{^)'i ce qui achève la démon- 

 stration du théorème. 



2. Dans le même ordre d'idées, nous avons démontré un théorème ana- 

 logue concernant les séries de Taylor. 



TiniouKME II. — Suit \na„\ <^ i . Alors, pour que la série 7 a„snit convergente, 

 il faut et il suffit que 



a.(.r) = — 1—2 ;r~~r ('-■'•■""') (kl<0 



tende vers une limite dètern inée quand x tend vers un suivant un chemin 

 simple continu quelconque C. 



(Test une généralisation des théorèmes \{) et 50 de notre Mémoire : Co/i- 

 trihulions lo the arithmetic tlieory of séries ('). Là, nous avons supposé 

 que na„ tend vers zéro. 



Nous dirons que le chemin C est régulier s'il s'approche du point x=^ i 

 dans une direction déterminée (qui peut d'ailleurs être tangente au 

 cercle \x\ = i). Cela étant, il suffit, en particulier, pour la convergence de 

 la série ^ f/„, que /'(r ) = V a„.c" tende vers une limite déterminée quand x 

 tend vers un suivant un chemin régulier quelconque C. Mais cette condition 

 n'est pas nécessaire. Si l'on pose 



I .11- ( 



Il Iol:/; /■ 



-iii — \n,.-=^e'' , n,.<Z II <C "r 



la série Vc/„ est convergente. Maisy'(.r i ne tend vers aucune limite déter- 

 minée quand G a un ordre de contact assez élevé avec le cercle. 



(') Proc. Lo/idoii Math. Soc. t. 2. 



