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élevé. Celte circonslance permet de calculer des expressions asymploliques 

 faisant connaître la valeur de I, avec une faible erreur relative, en appli- 

 quant des théories exposées dans mon Mémoire sur l'approximation des 

 fonctions de grands nombres ('). On est conduit à considérer trois cas 

 distincts, suivant que a- est inférieur, supérieur ou égal à i. 



1° X- < I . Il y a lieu, dans ce cas, de partir de l'expi'ession (i) de I et de 

 modifier le ciiemin d'intégration comme il suit. Décrivons du point // = a, 

 comme centre, une demi-circonférence cr de rayon infiniment petit, du côté 

 des ordonnées positives. La fonction sous le signe / étant holomorphe, 

 dans le voisinage de la valeur» = a, on peut remplacer le diamètre de cette 

 demi-circonférence, (|ui fait partie du chemin d'intégration donné, par la 

 courbe elle-même. Appelons D le contour d'intégration ainsi obtenu. On 

 peut alors écrire 



-1=1 , ; (lu — / ; , roS ■) III (// — y. \ (fil. 



Gonsidérons l'intégrale 



J=/ 7^ -sin 2 III (il — <y.)ilii. 



.\A" — y-)- 



La partie de J, prise le long du chemin d'intégralion qui se confond avec 

 l'axe des abscisses, eslévidemment réelle. Quant à celle qui est prise le long 

 de la demi-circonférence, de centre u = a, sa valeur s'obtient immédia- 

 tement en calculant le terme en du déveloiipement de l'élément diffé- 



rentiel suivant les puissances de u — a. On en déduit 



.1 — t/«t:\ — I v'i — :z- = qiiaiitité réelle. 

 Comme I est réel, ^^ est, par suite, la partie réelle de l'expression 



'Il faisant 



2inT.\ \ — a- -+- I — (/u — 1 1 



J„ (" — «)■■ 



7 



2IIJT:\ I — nr- — - -4- - ' y/- 



11=: / U 'l_pjm,„-x, 1,/ 



I. (Il— y. )■ 



E désignant la base des logarithmes népériens. 



(') Joui nul de .)Liliicinati(iue>i piircx cl appU(iuées. i (jot 



