DI ANTONIO CACCIANINO. 



I'l 



X — 2X X -*- X . , . . , . ^ X X 



ijuadrato perfetto riducendosi ad , la di cui radice e 



c rimarcliiamo ancora che i valori diversi dipendenti dal segno otten- 

 gonsi seiiza il siissidio delle dette due radici dell' unita, raa servendosi 

 solo della permutazione di x in x", poiche allora ricaviamo il valore 



— I Dnnque noi abbiarao otteuuto una formola radicale de' coefli- 



cienti , la quale espressa per le radici dell' equazione e divenuta ra- 

 zionale, lineare e tale che cangia di valore per la permutazione delle 



radici fra loro. Aggiungiamoci adesso 1' espressione — — , cioe '■ , 



che per la permutazione non cambia ; eccoci pervenuti all' equazione 



identica '■ \- '■ = a', la quale col solo uso della permutazione 



si cambia nell' altra parimente identica '■ }- — = x". 



'■ 2 2 



Nelle equazioni generaU di terzo grado le funzioni razionali dei 

 coefficienti espressi per le corrispondenti delle radici subiscono sei 

 permutazioni fra le radici senza cambiar di valore. Un radicale se- 

 condo d' una di queste funzioni , il quale possa divenire quantita ra- 

 zionale di tre dimensioni , e possa avere i due valori diveisi per una 

 permutazione, se si combinera con una funzione razionale omogenea 

 dei coefficienti, mi fornira una funzione delle radici che mantenga il 

 proprio valore per tre sole delle permutazioni indicate. Un radicale 

 terzo di questa funzione che potesse ridursi quantita razionale, e die 

 percio sarebbe lineare , se sotto le tre permutazioni supposte cambiassc 

 valore , mi farebbe conoscere la possibilita della soluzione dell' equa- 

 zione generale di terzo grado ; e tutta la difficolta consisterebbe nell' u- 

 nire insieme piii d' una di queste quaiitita , o se facesse d'uopo com- 

 binarlc ancora con qualche funzione razionale e lineare de' coefficienti, 

 finclie per la riduzione si arrivasse ad ottenere il solo valore di x' ; 

 giacche coUe permutazioni scaturiranno quelli di .v", poi di .v". 



Questa possibilita ridotta ad effetto e la corrispondenza di fpiesti 

 principj coUa nota soluzione per la formola cardanica sono evidcnte- 

 mente dimostrate nella seconda parte dcUa Memoria del signer pro- 

 fessore Ruffiiii. 



