6 ESPOSIZrONE DL' PRINCIPJ , ecc. 



Passando alle eqiiazioni gcncrali di quarto grado , osserviamo die 

 iielle fuiizioui razionali dei coefRcienti espresse per le corrispondenti 

 delle radici hanno luogo ventiquattro perrautazioni senza clie si possa 

 cangiare il valore di esse fiinzioni. Abbiasi uii radicale qnadrato die 

 possa diventar quaiititu razioiiale di dodici dirncnsioni , e die possa 

 acquistare i siioi due valori divcrsi solo col mezzo delle perrautazioni, 

 riescendo questi uguali a dodici a dodici solamcnte : se questo si com- 

 bini con una funzione omogenca dei coefEcienti , la funzione composta 

 conservera lo stesso valore sotto dodici permutazioni , mentre un altro 

 diverso e solo ne assumera sotto le altre dodici. Possa ora da questa 

 funzione estrarsi una radice terza die risulti quantita razionale e tale 

 die possa presentare i suoi tre valori diversi solo coll' opera delle 

 perrautazioni ; e cliiaro die essa sara di quattro diniensioni , e die i 

 valori risultanti dalle dodici permutazioni saranno uguali a quattro a 

 quattro solamente , ed uguali pure soltanto a quattro a quattro saranno 

 quelli delle altre dodici. Facciamo adesso una funzione composta da 

 simile risultato e da una funzione razionale omogenea dei coefficienti, e 

 sia tale die la sua radice quarta si possa aver razionale , e tale die possa 

 cangiar di valore sotto ciascuna delle quattro permutazioni die sotto 

 il segno radicale conservavano uno stesso valore. Questa fu,nzione sara 

 evidenteraente lineare , e iiou sara impossibile 1' unirne insieme tante 

 opportune quante facessero di bisogno perclie la loro somraa si ridu- 

 cesse al solo x; indi col mezzo delle permutazioni successive si avreb- 

 bero gli altri diversi x", x", x"'; cosicclie tutte le ventiquattro permu- 

 tazioni darebbero sci volte la medesima radice , sei volte un' altra , ecc. 



Non e nccessario di osservare il process© qui assegnato nell' or- 

 dine de' radicali per avere i valori diversi delle radici dell'equazione 

 generale di quarto grado ; ma si puo pervenire al medesimo risultato 

 seguendo altre strade, purche siano riconosciute possibili. Ora il signor 

 professore Ruffini ha dimostrato die un' equazione razionale de' coef- 

 ficienti cspressa per le corrispondenti ddle radici puo esser tale die 

 soggiaccia all' estrazione della radice seconda ; die questa combinata 

 con altra funzione razionale omogenea de' coefficienti pu6 trovarsi 

 tale die subisca 1" estrazione della radice terza ; die questa ancora 



