DI ANTONIO CACCIANINO. 7 



combiiiata con alti'a fimzione come sopra si trovi tale da potervi 

 cstrane la radice seconda ; eclie quest' ultima eziaiidio combiiiata con 

 altra funzione oppoi'tuua come sopra possa avcre la proprietii d'estrarvi 

 la radice quarta oppure la seconda ; la qual cosa basta a dimostrarci 

 la possibilita di combinare quest' ultima funzione divenuta razionale e 

 lineare con altre funzioni razionali e lineari de' coefficienti in modo 

 di ridude al solo x. La conformitii degli enunciati priiicipj coi cono- 

 sciuti metodi della soluzione dell' equazione geiierale di quarto grado 

 e dimostrata con tutta precisione nel capo quarto della citata Mcmoria. 



Nella formola che presenta il valore di ciascuna delle radici di 

 terzo grado si osserva die vi ha una funzione de' coefficienti die 

 subisce sostanzialraente 1' estrazione della radice sesta , ed in quella 

 pel quarto grado una ve ne ha che soggiace all' estrazione della 

 radice \igcsimaquarta. Simili funzioni sono appunto causa per cui 

 sostituite che siano nei valori delle radici alle funzioni do' coefficienti 

 quelle corrispondenti delle radici medesime , la funzione razionale che 

 in ultimo si ottiene , nel caso del grado terzo sommiiiistra due volte 

 il valore di x\ due qucllo di x", e due quello di x"; ed in quelle del 

 quarto da sei volte il valore di x, sei quello di x", sei quello di x", 

 e sei finahnente quello di x"\ vale a dire in generale quando la for- 

 mola presenta colla riduzione solo x', lo conserva per tutte quelle per- 

 mutazioni per cui x non cambia di posto , e lo cangia in x" allorche 

 x" si pone in hiogo di x ; cosi dicasi delle altre: e per tal modo si 

 verifica la condizioiie espressa in principio, che la funzione cangia di 

 valore sotto ciascuna perrautazione di tutte le radici fra loro. 



Ora non si puo prescindere dall' osservare che questa proprieta 

 debb' essere cssenziale a qualunque formola de' coefficienti che vo- 

 gliasi atta a fornire i valori diversi delle radici di un' equazione ge- 

 nerale di qualunque altro grado ; poich^ quando in cssa avr6 so- 

 stituite le corrispondenti funzioni delle radici , la medesima dovra 

 risultare identica con una sola radice, per esempio con x; ma tutte 

 le radici dovranno essei'vi contenute , affinche si abbiano tutti i loro 

 diversi valori quando pongo un' altra qualunque nel luogo di x. 

 Ma in simile funzione il numero delle permutazioni fra le radici e 



