DI ANTONIO CACCIANINO. 9 



Conosccremo facilmente die a questo passo siamo necessariamente ri- 

 clotti , qualuiique fosse il metodo con cui iiitcndessimo di procedere , per 

 la sola considcrazione die il 3 ed il 5 soiio aliquoti dd 120, e die 

 sono numeri prirai. Da questo stesso problenia dipende essenzialmentc 

 la soliizioiie di tutte le equazioni algebraiche superiori al quarto gra- 

 de, poidie gli stessi numeri 3 e 5 sono aliquoti di tutte le quantita 

 die costituiscono le somme delle permutazioni die si possono fare 

 sulle loro rispettive radici , ne 1' estrazione delle radid di simile esjio- 

 nenie si possono evitare , per essere questi numeri prirai. 



Ora la soluzione di questo problema e appunto quella die viene 

 dimosrrata impossibile dal signer professore Ruffini nella sua Memoria 

 al § 5.°, dove fa diiaramente conoscere die se F{x', x", x", x", x'^, ecc.) 

 conserva il proprio valore per una delle permutazioni fra cinque ra- 

 dici , e per due permutazioni fra tre radici , di qualunque grado sia 

 r estrazione della radice die su quella si tend d' operare , non sara 

 mai possibile d' ottenerne un risultato razionale che presenti una ra- 

 dice dair altra diversa per le sole permutazioni delle cinque o delle 

 tre radici fra loro, e senza il sussidio d'alcuno de' valori delle cor- 

 rispondenti radici dell' unita. 



Dunque concliiudiamo a non poter dubitare che da questa dimostrata 

 impossibility direttamente ne emerge I'impossibilita della soluzione alge- 

 braica delle equazioni generali di grado superiore al quarto ; conclusione 

 che ritrovasi con esatto raziocinio sviluppata uel § 6.° della citata Memoria. 



Metodo con cui procede la dimostrazione del teorema 

 fondamentale qui sopra enunciato. 



Prendasi il caso particolare dell' equazione di qninto grado , e com- 

 pongasi coi coefficienti di essa una funzione qualunque razionale ; que- 

 sta e sempre una funzione delle radici della data equazione che con- 

 serva il proprio valore sotto qualunque permutazione delle radici fra 

 loro , sia di tutte , sia d' alcune solamente. 



Fra tutte le permutazioni scegliamo quelle per cui tutte le radici 

 cambiano di posto mediante una legge sola di successive andaraento. 

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