I 6 ESPOSIZIONE Di;' PRINCIPJ , CCC. 



afTiiicho aggiunta ad altra funzion razionale de' coefiicienti , die riesca 

 opportuna , foniisca il solo valore x, c permutaudo x iu x" quelle solo 

 a". Se (16 puo cseguirsi , dovra essere possibile 1' equazione x = P"-f- Q\ 

 dove P" e una funzione razionale de' coefiicienti. 



Essendo x quantita liiieare , do\Tanno P", Q' essere parimente quan- 

 tiia lineari, con questa sola ditferenza che P" non camhiera di valore 

 pcrmutando , per essere funzione razionale de' coefiicienti , e Q coUa 

 permutazione potra , anzi dovra variare , essendo Q' un radicale qua- 

 drato funzione dei medesirai. 



Potrerao pertanto fare P" = gA , dove g e un coeflliciente opportune 

 da deteruiinarsi della sorama delle radici presa con segno contrario , 

 che non cangia perrautando, e cosi faremo Q' ^= hx ■+■ jx ", soddisfacendo 

 alia condizione che la quantita Q' sia lineare , e che pei diversi valori 

 di h, i da determinarsi opportunamente possa col mezzo della permu- 

 tazione acquistar valore diverso. 



Avremo dunque P' -t- Q' = x = — g{ x ■*- x" ) ■^- hx ■+■ ix". Ma facenda 

 la permutazione in Q\ deve risultare — Q'. Dunque hx" -t-ix z= - hx — ix", 

 in cui perche sia generalmente vera, indipendenteraente dai valori di x, x", 

 risulta dover essere h =^ - i. Sara pertanto x = -gx -gx" -t-hx' -hx", 

 e questa ci fa couoscere che debb'essere ft -g = i, h-^g^=o, cioe h^-g, 



e quindi aft = i , e - 2g = i , e finalmente /i = |, g = - i- 



A I 



Abbiamo per conseguenza ottenuto P' ^= gA = -—,e Q = 



2.- 



A „/ x — x" 



— IX X ■*■ X 



Ma Q' = ■*■ ^P'; dunque P' = '■ ; ne piu ci rimane a fare 



se non esprimere quest' ultima quantita per la funzione de' coefficient! 

 che le corrisponda. 



Ora a;'* •»- x"^ e la somma delle seconde potenze delle radici, e dai teore- 

 mi neutoniani noi sappiamo essere questa uguale ad A^ — 2B; ed e ancora 



, „ r> 3 X ~2XX -*-X A — 4Ji A n D' „ 



IT- 2.x X =-2B; dunque = — = — - ^ = i-*, e 



quindi abbiam ricavato a priori P'+ Q' = P"i- l^P'= x'= - — •*- 1/ ( — -^j 

 come ci eravamo proposto. 



