DI GIOVANNI RACACNI. 6 1 



la serie georaetrica delle poteiize intiere, come i numeri rotti la seric 

 aritrnetica degl' intieri. Ma iu cjuesto caso il cUfetto dell' aiialogia era 

 assai maggiore che nell' altro degli esponenti negativi ; poiclie lasciando 

 stare la difficoUa di comprendere come si possa eseguire un mezzo, 

 uii terzo , un quarto , ecc. di operazioni , se ci6 fosse diuotato dagli 

 esponenti rotti un mezzo , un terzo , un quarto , ecc. , egli i: certo 

 clie gli esponenti di questa sorte spessissimo indicano operazioni che 

 lion si possono eseguire , e quantitu clie si dicono irrazionali , pcrche 

 o non si possono ottenere intiere , \\h rotte , ovvero irrazionali imagi- 

 narie, perche sono cosi ripugnanti, die non si possono tampoco imagi- 

 nare;laonde il Nicolai, che ha voluto estendere I'analogia oltre il do- 

 vere, e stato condotto a conseguenze di una assurdita manifesta, che 

 gia Furono dissipate dall'egregio nostro socio il signor professore Cossali. 

 Ad ogni modo 1' esito ha confermato che ancora gli esponenti rotti 

 sono stati con fino accorgimento e con grande vantaggio nell' algebra 

 amraessi, poiche sono essi simboli chiari e facili, sui quali le opera- 

 zioni si fanno in molti casi , come sopra i numeri intieri , e servono 

 ad espriraere le radici ancora , quando non si possono estrane , e le 

 medie proporzionali per interpolare le potenze ancora, quando non si 

 possono ottenere in numeri intieri o rotti , e finalmente come le quan- 

 tita irrazionali oi rappresentano i rapporti della diagonale al lato del 

 quadrato, del lato di un cubo a quello di un cubo doppio, e di altre 

 tali grandezze dotte incoramensurabili dagli antichi , perche non hanno 

 alcuna misura o parte aliquota comune; cosi le irrazionali iinaginarie 

 hanno servito ad esprimere e le linee trigonometriche d' un arco tjua- 

 lunque , e la ragione della periferia al diametro , e il logaritmo della 

 unita, e le formole comuni, e le relazioni vicendevoli tia il circolo 

 e r iperbola , ossia tra gli archi di circolo e i logaritmi. Ma questi 

 vantaggi singolarissimi potevauo ottenersi con alui simboli come co- 

 gli esponenti rotti. 



4. Ora il Vundermonde ( Mem.. Par. 1 772 , P. 2) fece gia osser- 

 vare che le convenzioni in particolare stabilite per le potenze che 

 sono prodotti di fattori costanti , nei quali tutte le difFerenze sono 

 nulle , si possono rendere generali esteudendole ai prodotti di fattori 



