l68 SOPRA ALCUNE FUNZIONI ESPONENZIALI 



metodi approssirnativi , e dovra considerarsi nella maggior parte dei 

 casi corae una quantita trascendeiite non riducibile ad alcuna delle 

 conosciutc. Dalla suddetta cquazione 1' Eulero ( Calc. cliff. , cap. IX ) 

 dedusse il valore di x espresso da qucsta serie infinita 



2- :' o . ;"* 32 -c- 625. ' 



.r =1 I -*- z — 



3 » ,5 .44 ^*=^-' P«^t° ^3^ = ^' 



ma pare che quel sommo raatcniatico iion abbia avvertita la legge 

 semplicissiraa dei coefficieiiti numerici. Ora e facile vedere che si lia 



^~i' 2~i-2' 3~i-2.3' 8~ I .2.3.4 ^^^' ' 

 ove i nuraeratori sono gl' inversi dei coefficienti della serie di Ber- 

 noulli , ed i denoniinatori costituiscono la serie ipergeometrica 



I, 1-2, I-2-3, I-2-3-4, ecc. 



3. L'estrema divergenza dei nunieri 0°, i", 2^, V, ecc. e alquanto 

 diminuita dai rispettivi divisori i , 2 , 6 , 24 , ecc. , cosicche fino a 

 tanto che z sara una quantita molto piccola , la serie potra dare il 

 valore di x con snfficiente approssimazione. Ma per conoscere piii 

 precisamente i limiti oltre i quali i termini successivi cessano di ' 

 convergere, se ne consideri uno infinitamente rimoto e corrispondente 



air indice n , supposto n — co . Sara questo termine = - 



2 • • • /t 



ed il sue logaritmo = (/i— j) l{n—\) — Zi — Z2 — Z3 . . . —In -*- niz. 

 Ora nella supposizione di /z = co si ha la somnia dei logaritmi iperbolici 

 Zi-t-/2-t-/3... -*- I n =: n I n — n -^- ^l zjitt; 



sara dunque / s" = n — i —In — .' / -znTr -^ nl z . 



^ I-2-3..-/i 



ea ^ > 3" = - t— 



1 . 2 • 3 • • • « //(/( anw) ' 



indicando con e la base dei suddetti logaritmi , e con tt la semicircon- 

 ferenza. Di qui si deduce che la serie va successivamente accostandosi 

 ad una progressione geometrica il cui rapporto sia ez , e che dessa 

 e sempre convergente quando z<±c. 



