62" SUL MOTO PERMANENT^ DELL'ACQUA. 



osscndo o un slinbolo di funzionc arbitraria , il clic lasciava luogo a 

 (liibilare clie polosso avorsi aluimcnli. Diro chc (/ew prendcrsi la R 

 come nell aiilocodeiile (19), c die la nalura della qucslione non puo 

 pormcHcrc allra siipposiziono. 



Per provare quesla importanlc proposizionc dcrivlamo la (18) pel 

 Jeni|)o : avrenio 



f'{x)u -+ f"(y)v =: o 



niotlcndo per », c i valori (4), 



(20) f'{x) R'iy) — f(y) /?'(x) = o 



equa/.ionc dolla slcssa forma della (10), dalla quale si sale in virlu 

 della seguenle (11) all' altra 



(21) fix^y) — ^{R) ; 



e questa, inlendendonecavaloil valore dl /?, non dlversifioa dalla (19). 

 Qui puo i'arsi unobbjezione che sulle prime lia una ccrla apparenza. 

 La rclazione fra le equazioni (10), (11) c legillima e indispensabile, 

 iinclie le x, y sono variabili fra loro indipendenti : ma quando si cava 

 la (20) dalla (18) derivata pel tempo, sostiluili i valori (4), in que- 

 sla (20) la y non e indipendente da x, ma ne e quella funzione che 

 viene detcrminata dalla stessa (18). Per questo molivo polrebbe non 

 essere legiUimo il passaggio dalla (20) alia (21). Ammello T osserva- 

 zione c non ammetlo la conseguenza. Quantunque la y nella (20) sia 

 funzione della x, dico che inlendendo assegnale le forme /", /?, V e- 

 quazione (20) deve verificarsi per idenlila , senza cioe ricorrere al- 



1 inlerna composizione della y per la x. In falli, non sia che Tequa- 

 zione (20) si verifichi per identila , ma per soddisfarvi sia d'uopo 

 ricorrere a quell" inlerna composizione : residuera allora dalla (20) , 

 dopo sciolle luUe le diverse forme delle funzioni , un' cquazione non 

 identica fra x, y, da cui polrassi cavare y in funzione <li x. Un lal 

 valore di ^- in x non conlerrebbe la coslanlc a, perchc quesla coslanle 

 (badisibcne) non enlra in nessuna delle funzioni f(x, y)^ ^(j)i ^^ \^) 

 dellc quali consla la (20): non nella f{x,y) chc e il prime membro 



