70 ALCUNE puoprieta' delle radici dell' untta' 



5. Per le note proprieta delle radici dell' unita , nell' ipotesi di g 

 numero intero, essendo x*"'*''= x" , nc segue che se avremo una som- 

 ma '2x"x'"x'"" . . . . , nella quale sia K = gm -*- a , H' = gm -t- b , 

 h'" = s'rn ->- c , ecc. , essa equivarra pienamente all' altra 2x"xV.... 

 Dunque hx supposizione die in una qualunque delle preccdenti somme , 

 per esenipio nella 2.r".r x'x'x .... ciascuno dcgli esponenti sia non 

 niaggiore di tn , e affatto generica , poiche a questa sempre si ridu- 

 cono tutti i casi nei qiiali gli accennati esponenti si volossero in tutto 

 o in parte maggiori dello stesso m. Quindi le equazioni (II) si verifi- 

 cheranno ancora , mentre gli esponenti a , b , c , ecc. si vogliano o 

 tutti o alcuni fra lore maggiori di m; purche niuno di essi sia uguale 

 o mnltiplo del raedesimo m. Cosi si verificheranno eziandio le equa- 

 zioni del ( n." 5 ). 



6. Chiamato k un intero positivo qualunque , nella 1x''x' = — m 

 ( n." 3 ) , ove a , b sono due luimeri ne uguali , ne multipli di m , si 

 ponga b = km — a. Potendo k acquistare infiniti valori diversi , dalla 

 espressione 2x"x '""" avremo in infiniti casi diversi lo stesso valore — m, 

 Sia per esempio m = 5 , nell' ipotesi di k = \ , otterremo 



Sx'x'* = 2x^x = — 5 ; 

 quando si pone k = 2. , risukera 



'2x'x'^ = 2x^x = 2:c~'x^ = 2x'*x = — 5 , 

 e cosi in progresso. Sia m = 8 , ne verra , facendo k= \ , 



2.x-'.x^ = ^x^'x' = 2xV = 22(xx)^ = - 8; 

 facendo k = 2 , avremo 



2x'x'^ = 2x\x'^ = 2x^x'^ = 2x^x" = 2xlx" = 2x*'x'° - 2x'x^ = - 8 , 

 e cosi di seguito. 



Nella 2.x"x x*^ = 2m, ove come a, b, cosi anche c siano ne uguali, 

 n^ multipli di m, si faccia c = km — (a-*-b). Giacche si puo qui ancora 

 attribuire a k infiniti valori diversi, ne segue che ancora la 2x''xx'^ 

 potra in infiniti difFerenti casi risultare = 2m. Posto per esempio m = 7, 

 sia /; = I , ne verra 



22x'x'x^ = 2x'x'x^ = 22x'(xr)^ = 22(xx)'x^ = 14 ; 



