76 ALCUNE PROPRIETA' DELLE RADICI DELl' UNITa' 



b a+ifi (i-t-Vi a-t-Ah a-*-'yh „ _ a-t-On—i^} a-t-iidi a 



(V) ij^"^-^ }jr*^'-*- 1^:-"'-^^"^ fj:-"'^"-^ ecc. -*- ja'"-*^"'-"V fj:'*'"''= / 



3ci-^nb 3a 



yx =/A -4-ec. 



Sia a -t- fe = ^i , onde risulti 2x"x = — m ( n.° 3 ). Avendosi da cio 

 //. = /A = I, ne verra /x = /x X/x = jix , e pero tutte le potenze 

 della /x nella prima linea del valore ora esposto della '2x'x si ridur- 

 raiino alle /x , }j^ , /x , fjr, ecc. /x*'""'^*. Poiche si ha fj^"*^'' = jx'" = i, 

 le potenze della jix nella seconda linea si ridurranno corainciando dalla 



1 aa.^3^ ^11 A ai 3A (/rt — 2) I ^ • 2a.+>& 



seconda /x alle /x, /x , /x , ecc. /x' ', e la potenza prima /x 



ridiicendosi alia /x^^"* ^~ , sara = fT = }j:"'~^^, perche //' = i . Nella 

 riga terza abbiamo /x ""*"'* = /x ^"^ )* =/>(•; dunque cominciando dal 

 termine terzo , i termini successivi ivi contenuti diverranno /x , /x^ , 

 /x^ ecc. /"-^^ ed essendo il termine primo /x^"** = ^3(a*i,-2A _ ^-.4^ 

 ed il secondo /x = j^ = JJ- , essi diverranno /x , /j<. . 



Cosi proseiruendo si vede che le potesta contenentisi in ciascheduna 

 delle linee orizzontali della (V) si riducono tutte alle fx, fj.^ , fx , ecc 

 ^("'-1)4. jjjg^ ^jjIJ iji^ee sono evidentemente di numero m. Dunque avremo 



XX = n3(/x -t- /x -4- /x -*- ecc. -•- /x ) = — f^- 



Perche poi m e numero primo , e 6 e diverse da m , i valoi'i delle 

 potenze )x , jx^ , fj. , ecc. /x'"'~'^ altro evidentemente non sono che i 

 valori ju,, /x\ /x , ecc. fx"~\ perche dividendo ciascuno degli esponenti 

 b, 26, 36, ecc. (m — 1)6 per m, i residui che si ottengono da queste 

 division! altro sappiamo non essere che i nuraeii i, 2, 3, ecc. (m— i), 

 con qualunque ordine poi esse risultino. 



ly, Pongasi che m sia un numero composto. Non tutte in questo 

 caso , ma alcune soltanto tra le radici della x'"— 1 = o avendo la pro- 

 prieta che elevate alle successive potenze somrainistrano tutti i valori 

 x\ x", x", ecc. x'"'^ = I , da una di queste alcune soltanto, chiamata 

 essa pure /x, potra ottenersi 1' equazione (V), e quindi 1' altra 



2 a b / b 2b 34 («i— i)4v 



XX = ni{)x •*- fx -t-|x •+■ ecc. -»- /x ' ). 



