DI PAOLO RUFFIM. 77 



Ancora poi in questo caso trovercmo che ogiii volta b sla numero 

 pnmo con m , le potenze fj., fj. , /j. , ecc. /x tutti somministrano 



i valori /a, ju', /x\ ecc. )u,"'~', non accadendo simile determinazione 

 quando b ed m siano tra loro composti. 



r8. Mentre abbian luogo le ipotesi del ( n.° 16 ), niuno degli espo- 

 nenti della /a nella (V) puo essere uguale o niultiplo di m. Chiaraato 

 di fatto cca -+■ j36 uno qualsivoglia di tali esponenti , poiclie abbiamo 

 aa -*- ^b = a{a -*- b) -*- (jB — a.)b , ed a -*- b e divisibile esattaniente 

 per m (n.°i6), ne segue che se si volesse a,a -*- fib uguale o mul- 

 tiplo di m, tale dovrebb' essere ancora (j3 — a,)b; ma tale non e b 

 ( n." 16), tale non puo essere /3 — a , perche tanto j3 , quanto a so- 

 no > o, e non > m ; e finahuente m e numero prirao ( n." 16). Dun- 

 que ecc. Troveremo agevolmente verificarsi la proprieta medesiraa an- 

 che allorquando sia m numero composto, mentre per6 i numeri a, h 

 siano prirai con esso m, e /j. indichi una di quelle radici della x" — i = o, 

 che si sono accennate nel (n° 17). 



19. Siano ora i due numeri m, a composti fra loro, e supposto 

 r intero n > i comune lor divisore , sia m = np , a = nq. Avendosi 

 a -*- b = km ( n.° 16), e pero b = n(kp — q), dovra anche b essere di- 

 visibile per n esattamente; e cio essendo , io dico che in ciascheduna 

 delle linec dell' equazione (V) uno per lo meno degli esponenti della 

 jbt dev' essere uguale o multiplo di m. Supposto di fatto che m si con- 

 tenga in b le volte h, e ne resti I'avanzo e, essendo questo e >• o , 

 e ■< m , onde si abbia 6 = Am -•- e ; dovra essere anche questo avauzo 

 divisibile esattaraente per n, e posto quindi e = nr, avremo b = hni -*- nr. 

 Ora la serie degli esponenti della /x in ciascuna delle linee della (V) 

 ridncesi pel dimostrato nel ( n.° 16) alia b, 26, 36, 46, ecc. (m — 1)6, 

 ed il numero/) del prodotto np = m , per essere > e , ed insieme < nx, 

 e necessariamente uno dei coefficienti i, 2, 3, 4, ecc. m. — i, della b 

 neir esposta serie. Dunque sara pb un termine della serie medesiraa ; 

 ma abbiamo pb = hmp •*- npr = {hp -*- r)m numero divisibile esattamentc 

 per m. Dunque ecc. 



Abbiano i numeri m , a quanti si vogliano numeri loro comuni 

 divisori , e chiamati n, n", ri" tanti numeri prirai tutti > i, abbiasi 

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