8o ALCUNE PROPRIETa' DELLE RADICI DELL* UNITa' 



ed essendo b, c clue numeri non uguali e non multipli di m (n.^prec), 

 dalle proprieta dei nunicri sappiamo che col divider per m ciascun 

 termine della serie 



b-*-c, b -*- 2c , b -*- 3c , 6-*- 4c, ecc. b •^- (m— i)c , b •*- mc , 



gli m residui che si ottengoiio, deggiono essere tutti disuguali fra 

 loro. Dunque ciascuno di tali residui doveudo per la natura della 

 divisione risultare •< m , ne segue che dovra esservene uno uguale 

 alio zero , e per6 che nell' accennata serie dovra esistere un termine 

 divisibile esattamente per m ; ma tale non pu6 essere ne il primo 

 termine b •*- c , ne 1' ultimo b -^-mc :, perche se lo fosse quest' ultimo , 

 lo dovrebb' essere evidentemente anche il numero 6 , e se lo fosse 

 il prirao a cagione di a -»- i -+- c = km , lo dovrebbe essere ancora il 

 numero a ; il che e contro la supposizione. Dunque restando che debba 

 essere divisibile perm uno dei termini fc-*-2c, 6-*- 3c, ecc. 6-^(m— i)c, 

 viene ad esserlo uno degli esponentl de' termini che si ottengono , 

 come sopra , dalla /x ■*'^^~'>', e quindi uno degli esponenti della /x nella 

 prima liuea della (VI). 



Nella serie 6 -*- 2C , b-*-Zc, 6 -♦- 4c , ecc. b -*- (m — i)c sia b-t-rc 

 quel termine che e divisibile esattamente per m , si moltiphchi esso 

 per un intero g>i, e <m, e, divisa nel risultato gb -*- grc la parte 

 gr per m , abbiasi il quoto q ed il residue i , onde sia gb ■+■ grc 

 = gb •t-(qm -*-i)c. Essendo gb -*- grc divisibile esattamente per m, tale 

 Sara eziandio gb-*-ic, e quindi avremo i>o; perche se si volesse 

 i = o , ne verrebbe gb divisibile esattamente per m ; il che a cagione 

 di m numero primo, di g^m, e di b diverso da m non puo essere;' 

 ma per 1' indole della divisione dev' essere ancora i <^m , e di piu non 

 pu6 essere i = g, perche se lo fosse, risulterebbe g (b -*- c) , e pero 

 b-t-c divisibile esattamente per m contro cio che si e detto di sopra; 

 Dunque dalla formola gb ■+■ ic sommata con a -*- b -^c , e ridotta cosi 

 alia a-4-(g-4-i)6-^(i-t-i)c, avremo sempre , allorche si fa g = 2 , un 

 esponente della yu, nella seconda linea della (VI), quando si pone 5 =3* 

 un esponente della fx. nella linea terza , col porre g=4, un esponente 

 uella linea quarta, e cosi in progresso fiuo ad ottenere un esponente 



