DI PAOLO RUFFrNI. 83 



is4. Da qnanto si e detto nel (n.'*22), e facile a dedursi che il 

 termine il quale in ciascheduna delle linee della (VI) risulta = i , e 

 necessariameiite uiio solo , ed e quel solo che nel ( n.° 22 ) abbiamo 

 espresso in generate per jw. *"*'\ Suppongasi ora die ncU' esponente 

 di questo termine il coefficiente h si conservi il medesirao, che il se- 

 condo e si cambi neli' altro e •*- n , essendo n un intero > o e •< m , 

 e die il valore del termine si conservi lo stesso i. In queste ipotesi 

 io dico che dovr^ cambiare il coefficiente e. Supposto di fatto essere 

 jj. * ' *■ = I , SI divida questo per 1 altra equazione /x = l , 



e risultando fj! ■*"*,^ "' ^' = I , non potra essere E' — e , perche se lo 

 fosse, si avrebbe fj!"= i , e quindi nb divisibile esattamente per m ; 

 il che per la supposta natura de' numeri n , b non pu6 accadere. Ora 

 osservando le file della (VI), vedesi che possono esse dividersi di m — i 

 in m — I , che in ognuna di queste m — I linee il coefficiente h si 

 conserva lo stesso , e che nel passare dall' una all' altra il coefficiente e 

 si cambia acquistando successivamente tutti i valori e , e -*- i , e -*- 2 , 

 e -t- 3 , ecc. e -*- m — I. Dunque e -<- ra , a cagione di n -^m , restando 

 compreso tra questi valori , ed essendo anzi quelle che determina la 

 n-f\esima fra le m — i sopraccitate linee aventi tutte lo stesso valore 

 di h, ne segue che il precedente j^'"*^'*"^ ""^^ sara quel termine che 

 nella n-*-iesima ora esposta hnea risulta =1 ; ma E' coefficiente di c 

 in //. ' si e gia trovato diverso da e coemciente di c m /x 



Dunque potendo tanto e , come n rappresentare tutti i numeri 0,1, 

 2,3, ecc. m — I , ne segue che il coefficiente di c nel termine ne- 

 cessariameiite = I cambia sempre di valore in tutte quelle linee ove h 

 ha un valore costante. 



Nella linea ove si ha //,'"*'*"' = i uno dei due termini che man- 

 cano, quello e nel quale risulta e±q = h ( n.° prec.) ; e per la ra- 

 gione medesiraa il termine che corrispondentemente manca nella linea 

 nella quale si ha ^*«+('^+")*+£'^^ I ^ quello e nel quale ottiensi E'±q = h. 

 Dunque avendosi nel primo di questi due casi ±:q = h — e , e nel se- 

 coudo ±q = h — E' , gli esponenti deUa ju negli accennati termini man- 

 canti sono sempre diversi fra lore , ogni qual volta il coefficiente h 

 di a sia lo stesso. 



