I 1 6 COMPENDIO DELLA TEORICA. DELLC MINE 



spezzatura si manifesterebbe in una superficie di rivoluzione intorno 

 air asse medesiuio , la quale avrebbe il carattcre della superficie di 

 minima rivoluzione intorno a quest' asse chiuso fra la sfera delle 

 forze e la superficie csteriore del corpo. Siccome le forze di spinta 

 in qiiesta direzione sono proporzionali al circolo di rottura delF in- 

 terna sfera , cosi potranno esse rappresentarsi dal quadrato del raggio 

 di esso circolo : quindi I'espressione comune a tutte le suddette super- 

 ficie di minima rivoluzione divisa pel quadrate di questo raggio dovra 

 essere un niinimo, condizione necessaria per ottcnere la deterniinazione 

 della superficie medesinia. Si avverte clie il carattere della superficie di 

 minima rivoluzione deve conciliarsi colla condizione che possa seguire 

 la rottura , di maniera che il circolo esteriore della rottura non po- 

 trebbe mai assegnarsi minore di quello die forraerebbe il bordo della 

 rottura suUa sfera interna ; ne minore potrebbe supporsi verun circolo 

 parallclo interraedio, se cio potesse aver luogo, considerato soltanto che 

 la superficie di rivoluzione fosse la minima. 



Dal metodo delle variazioni si ottiene I'equazione differenziale della 

 linea che genera la minima superficie di rivoluzione intorno ad un 

 asse determinato , la quale integrata due volte fornisce 1' equazione 

 finita X = alog[ y -^- c -*- i/{{y -^-cf — a^)]-<-b, che e quella della cate- 

 naria. Le costanti arbitrarie a , b si sono introdotte per le due inte- 

 grazioni ; la costante arbitraria c si e aggiunta alia y fin dal principio 

 nella formola integratoria soggetta alia variazione , a fine di avere un 

 parametro , dalla grandezza del quale venga singolarizzata la catenaria 

 conveniente alle particolari circostanze del problema. Ora se chiamiarao 

 x, y le coordinate della curva al principio della rottura , le quali 

 sono pur quelle del circolo massimo della sfera delle forze nel punto 

 della loro comune sezione, ed x", y" le coordinate della stessa curva 

 alia fine della rottura , le quali sono comnni alia linea generatrice 

 della superficie del corpo die supponiamo di rivoluzione , e chiaro 

 che le settc quantita x, x", y, y", a, b, c vogliono essere determinate 

 tutte dalle condizioni del problema. Siccome pai nel nostro caso de- 

 vesi produrre un unico determinato effetto, cosi le condizioni debbo- 

 no essere atte a foniirci precisamente sette equazioni I'una dall' altra 



