182 PlETRO Callegari 



(2)' 'i^p^ = — i^ ( c^ ^ 2 ( fl^ -+- Z/' - c') sen" k - S. sen 2 / ), 

 4 cor k^ ' 



(;])' n'jf =:-^ —i^V' -H 2 ( a^ -»-■ c- - 1?) seri" k - 5. sen 2 / ). 



Le quali somminlstrano i lati del triangolo m'n'p. 



•i. I triangoli mnp, m'n'p diveiraiino eciuilateri, se me- 

 diante le tre espressloni (1), (2), (3) ovvero (1)', (2)', (3)', 

 si verificheranno le due equazioni 



a' H- 2 ( Z*^ -f- c''~a^)senH = b'' ■+- 2 (a' -h c^ — b')sen'k , 



a- H- 2 (*^ -f- c^ — a')senn=:c'' -4- 2 (a' -+- b-~c')sen^k . 



Dalla prima si deduce 



(i) {a'-b''){i''isenH) = 0, 



e dalla seconda 



(5) {a' — c^){i—J^sen''k) = 0. 



Quindi air una ed all'alti-a equazione si puo soddisfare ponendo 



1— ■i^e/zU=0, 

 da cui si deduce 



sen A. = it 2 ; 

 cloe k = ±z30'''. 



Di qui si rileva, che sopra ciascuu lato del proposto trian- 

 golo si hanno due triangoli isosceli correlativi , uno appar- 

 tenente ad un sistema diretto , e 1' altro appartenente ad un 

 slstcnia inverso , dei c[uali congiungendone i vertici a due 

 a du« si ottengono dei triangoli , che sono equilateri. Sta- 

 l)iliremo quindi questo teorema. 



» Se sopra ciascun lato di un triangolo qualunque si co- 

 » stituisce un triangolo isoscele , che ahhia alia hase ango- 

 )) li di 30", sla che appartenga ad un sistema diretto od in- 

 )) verso di triangoli correlativi , si otterra un triangolo equi- 

 » latere dal congiungerne i vertici a due a due con linee 

 » rette. » 



5. Siccome un triangolo isoscele con angoli alia base di 

 30° ha il suo vertice ad un terzo dell' altezza del triangolo 



