SOPRA ArTIFIZI AnALITIGI EC. 339 



Sari questa riducibile ad una derivativa di 2.° grado, se 

 I'esponente r possa determinarsi per guisa, clie i tre espo- 

 nenti gr-\-a, hr-^b, kr-¥-c di y costituiscano una pro- 

 porzione aiitmetica, poiclie un'equazion della forma 



coUa divlsione per/"* diventa appunto derivativa di 2." gra- 

 do, rispetto ad y, comunque contengan z i coefBcienti 

 A', B', C. Ora la condizione della proporzionalita aritmeti- 

 ca fra quegli esponenti si riduce a 



a -^-c — 2& 

 2(hr-^b):=s;r-+-a-*-kr-^c, che ci dk r = ~- -. 



^ / & 2h — g — k 



Dunque ogni equazione a tre termini 



e riducibile ad una derivativa di 2.° grado colla posizione 



a-4-g — 2ft ^ 



ar = /*-9-'' z; 



ed ambedue le variabili x.^ y si possono facilissimamente 

 esprimere per una terza 3, come fu trovato da Gabriello Man- 

 fredi in una dissertazione inedita del 16 Gennajo 1755. Ve- 

 ro e che per 2 /j = g -t- /t 1' esponente di y nella posizione 

 riesce infinito ; ma in tal caso non v' e bisogno di trasfor- 

 mar la proposta , perche ha gia i tre esponenti della x in 

 proporzione aritmetica, e si riduce tosto a derivativa di 2.° 

 grado rispetto alia x. E similmente non v' e bisogno di tra- 

 sformazione per 2 Z» = « -»- c , perche la pi'oposta ha gia i 

 tre esponenti di y in proporzione aritmetica; e si rende to- 

 §to una derivativa di 2.° grado rispetto alia y. E in ambi 

 i casi una delle variabili si ottiene espressa per 1' altra ; ne 

 v' e bisogno d' esprimerle ambedue per una terza. 



4. Applichiamo ora la stessa posizione x = y^ z ad 

 un' equazione a quattro termini 



A x9 y" ^ B x'' y'> -t- Cx^if ^ Dx^ if =zO. 

 Avremo 



Az9y^'* -+- Bz'^y^'^-^^ -♦- C^y^-^" -*- Z>s"'3/""'-^"= 0. 



