3i0 DOMENICO PlANI 



Qnesta si I'uliirra ad una derivativa del 3.° grado, se {lU 

 esponenti di y saraniio in pioj|,iessione aiitmetica , cio die 

 importa le due equazioni 



2 (/ir-H ^) =gr-4- a -+- /. r-^c, 2 {kr -^ c)-=hr -^h -^ mT-^n\ 



(I -H c — 2 Z* 

 donde r = —r-. ;- , come per requazioue a tie ter- 



o 



- 1 b -\-n — '2c , „ ,. 



mini : ma inoltre r= —— ~— — ; onde tra gu espo- 



2 /i 11 — 771 



nenti della proposta e necessaria la relazione 



a -\- c — 2b b -+- 71 — 2c 



2h — g — k ~ Ik — h — 771 ' 

 ossia 



a{2k-h— 717) ~7i{2h—g-l)=b{U— 2.771— g)-c{:Sh—2g-7n). 

 Quando adunque fra gli esponenti della proposta esista 



n-i-c-ift 



questa relazione, la posizione x = z ■)f'^~i'~'' varra a renderla 

 riduttibile ad una derivativa di 3.° grado. 



Nulla poi si guadagnerehbe facendo la posizione x = i/z^, 

 perche equivarrebbe a poire x = if u , o a fare la me- 

 desiraa posizione di prima. E puo vedersi a posteriori, os- 

 servando che a volere che la trasformata 



A z^yV^"' ^ B 2''P j'"--* -H Cz''P y'"'-^' -H D z'"P j""--^" = 



abbia i gradi de' suoi termini in progressione aiitmetica , si 

 giunge a due equazioni , che contengono r -i- p identica- 

 mente come quelle della prima posizione contenevano r, 

 onde eliminando r-+-p, si avra la stessa equazione di con- 

 dizione fra gli esponenti della proposta. 



5. Finalmente applichiamo la posizione x=>/^z ad un'equa- 

 zione a cinque termini 



A x^y" -»- Bx'^y'' -¥- Cx^y' n- Px"/" -»- Eitl^f^ 0. 



Avremo 



Az'^y^^ -H Bz''/'^''-^- Cz'^y^'-*-' -+- Dz'^y'"'^'* ■*-Ez^y^^= 0, 



la quale si ridurra ad una derivativa del 4.° grado, se gli 

 esponenti di / saraimo in progressione aritmetica , cio che 



