DI FRANCESCO CARLINI. 25 1 



oVe abbiamo posti gli aiigoli x , x' ecc. in luogo di a -*- xt ecc. , 

 avremo 



P'-^P" = lA'^l A" -f- 1 A'" - ecc. -^ 1 5" -»- 1 7?'^ -^ 1 B'" ^ ecc. 



— I A^cos 2x — ^A' ''cos 2x' — ecc. — i ^''coi 2y — 1 5^co5 ay' — ecc. 

 -f- AA'cos{x — .v') -t- AA"cos{x — x") -t- ecc. -»- BB'cos{y — y') -»- ecc. 



— AA'cos(x ■+■ x') — AA"cos{x ■+■ x") — ecc. — BB'cos{y ■+■ y) — ecc. 



In quest' equazione i termini contenuti nella prima linea del secondo 

 membro rappresentauo la quantitii C" , e la sorama di tiute le altre 

 rappresenta la quantitii P". Ma da una parte e facile vedere che 

 C" e necessariamente rainore della somma dei coefiicienti di P" presi 

 positivamente, e dall'altra sappiamo che la quantita C" -*- P" = P^ -*- P'^ 

 non puo raai divenir negativa ; dunque sebl)ene sussista la proposizione 

 diretta esposta al n.° 12 che la quantita ^C -+- P e necessariamente 

 periodica quando C supera la somma dei coefiicienti di P , non 

 sussiste I'inversa; che quando C non supera la detta sorama, il ra- 

 dicale non possa essere periodico. 



§ II. Trasformazioni delle quantita periodiche. 



14. Una frazione della forma 



m A sin x ->- A' sin x ■+■ ecc. 



n 



A cos X -*- A' cos X -t- ecc. 



che e un caso particolai'e della formola {C -^ P) {C -*- P') , non 

 e periodica, ancorche sia A maggiore della somma dei coefficienti 

 A' , A" ecc. ; lo stesso deve dirsi d' un aiigolo la cui tangente fosse 

 eguale alia suddetta frazione; ma se, posto tanB = -, si determina 

 un angolo ausiliario i|/ coUa condizione che si abbia 



6/ , \ A sin X -t- A' sin x' -+- ecc. m 

 = taniw •+• x) = -; J, 1 = — 1 



^ ' A cos X -i- A cos x -*- ecc. n 



