DI FRANCESCO CARLINI. 289 



Quest' espressioue pu6 seinplificarsi notabilmente intcgrando per parti. 



Sia a tal fine 



-J = dp , z Pdc = dc] , sara 



J = Z [fq dp -+- c" J = Z (c" -^pq - fp dq ). 

 Ora essendosi trovato 2 = c sin{int -*• c) , sara 



T dt 1,1. 

 dp = ^ . .,, r e p = jCOt(mt -i- c ) ; 



fatta la sostituzione , risulta 



• / . '\ / 'I cot{mC -*• c') /^ . , i^rtj /^ cot(mt-t-c') . , »v n;\ 



y = c sin{mtfc ) ( c ^^ — - — '-Jc sin{mtfc )Pdt->- 1 c — ^^ — j — - sin {mt-*-c ) Pdt\ 



It ■ I \i\ cos(mt-*-c') n ■ , iv „ 7 sinUnt-*- c'") /• , »> n 1 



= cc sin{mc-*- c ) !^ -J sm {mc ■*■ c ) Pdt ■*■ — ^^ -J cos (mt-*- c) Pdc , 



o cambiando la costante cc" in c , 



■ I »v cos{mt-^c'\ r ■ I i\ryi sin(mt -*- c') n , ^ i\ r, 1 



y — c sin{mt-h c ) ^^ -J sin{mt-*-c )Pdt -^ — ^^ -J cos{mt -t- c ) Pdt , 



o finalmente svolgendo nei termini dopo il priino i seni e coseni 

 di mt ■+• c t 



, r> COS mt /■ . r> 7 *'" "" /* n J 



J = c sin{mt -*- c) / sin mt Pdt h J cos mt Pdt. 



Applicando a questa espressione i teoremi dei numeri 10, 11, 20, 

 si dimostra facilmeiite die ogni qual volta la funzione P non coii- 

 tenga I'angolo mt , 



I." i prodotti sm{mt)P, cos(mt)P saranno periodici; 



a. ° gl' integral! Jsin(mt)Pdt, Jcos{mt)Pdt saranno della forma P' ■*•€'., 



S.*" i prodotti sin mtCcos mt Pdt , cos mtfsin ml Pdt saranno perio- 

 dici, e percio sara periodica I'intera fimzione y. 



23. Eseguite nell' ultima equazione le iutegrazioni e le moltipliche 

 indicate, si trovera senza molta difficolta il valore di y per mezzo 

 d'una serie di seni dipendenti dall'angolo t, ove si osservera die nei 



