DI FRANCESCO CARLINI, 27 J 



S' = Arc. cot u — Arc. cot{u •*.(») = Arc. tan {u •*- uj) — Arc. tan u 



o* . a . o» . 3 . o 



= wsm z- sin z sin zsin^z -+- - - sm z sin 6z — ecc. ; 



a 3 



che 6 la serie data dall'Eulero (Calc. diff. Pars post. C. IV, n." 87). 



Fatto w — — u, e ritenendo die u = -^-^ 1 sarii 



sm z 



Arc. tan u = -sinzs'mz -* — sinz sin%z -*- ecc. = 90° — z , onde 



z = ' n -*• cos z sm z -i — cos z sin 2 z -r- - cos z sin iz -*- ecc. 



a 2 i 



37. Invertendo ora il problema si vcde che tutte le volte che una fun- 

 zione di x si potra decomporre iti due parti della forma <p (x) -+- (ff - ) •> 

 si potra svolgere in una serie di termini periodici della forma 

 a' sin X -^- a" sin 2.x -*- ecc. oppure a -^ a cos x -*- a" cos 2X -*- ecc. Ma sc 

 questa decomposizione non puo aver luogo, si potranno in altro modo 

 determinare i coefficienti delle serie suddette per mezzo d"integrali 

 definiti. A tal fine sia i> una funzione di x , la quale svolta in 

 una serie periodica divenga 



V =z a' sin x -*- a" sin 2.t -*- a sin 3x -*- ecc. ; 



se si moltiplicano i due membri dell' equazione per asinx e si svol- 

 gono i prodotti , si avra 



2v sin x = a' -t- a'cos x h- {a'" — a') cos 2X -^• {a" — a") cos 3 .r •+- ecc. ; 



se si trattasse dello svolgimento secondo le potenze di x , basterebbc 

 far X = o per avere il valore di a , ma qui che la serie pro- 

 gredisce pei coseni quest' artifizio nou giova. Si arriva pero a separare 

 la costante a' dagli altri termini periodici moltiplicando i due mem- 

 bri deir equazione pel differenziale di x e prendendone 1' integrale 

 entro certi limiti da definirsi a iiostro arbitrio, si avra per tal modo 



2 yV sin X dx = cij'dx ■+■ a"J'cos xdx -*- {a" — a'}J'cos 2X dx -*- ecc. 



^ , „ . a"'--a' . a"-a' . , 

 = C -*- CLX •*- a sin x -*• sin 2 v h sin ix ■*■ ecc. 



