iiS 



trario ; perchè in arabi i casi un piano dtreltore della paraboloide è orizzontale, 

 ma sollanto nel primo , 1' altro piano direttore , espresso dai muri , è verticale, 

 e con ciò perpendicolare al precedente. 



5. In talune opere idrauliche , come nei moli o pennelli p altre costruzioni 

 spinte dalla ripa dentro 1' alveo di un fiume , supponendo , per semplicità , ret- 

 tilinea la mal conosciuta scala delle velocità dal filone alle sponde , le facce deU 

 l'opera , disposte a seconda e a ritroso della corrente voglion essere anch'esse 

 porzioni di paraboloidi rette. E , per finirla , ognun sa che il metodo più pre- 

 gevole usalo dagl' ingegneri per la valutazione delle terre nei iagliamenti e nei 

 riempimenti , suppone ancora che la superficie naturiile del terreno sia conside- 

 rata come una porzione di paraboloide iperbolica , avente per proiezione orizzon- 

 tale un parallelogrammo o pure un trapezio. 



6. Essendo dunque palese per le ricordalo proprietà ed applicazioni l' im- 

 portanza geometrica ed artistica della paraboloide , e non essendone cognita la 

 misura se non per qualche caso particolare , e questo stesso della sola paraboloide 

 retta , ci siamo proposti nella nostra Memoria di riempire questo vuoto , risol- 

 vendo il problema in tutla la sua generalilà. 



A questo fine ognun vede che bisognava primamente stabilire l'equazione 

 della paraboloide definita dal proposto quadrilatero storto , equazione la cui mag- 

 giore o minore semplicità aver dovea tanta parte sull' andamento delle operazioni 

 ulteriori. Ora , essendo costume nelle arti di costruzione di riferire gli oggetti 

 esistenti nello spazio a piani orizzontali e a piani verticali , o che torna lo stesso, 

 di partire da quei dati che forniscono la pianta e 1' elevato dell' oggetto , la pri- 

 ma idea che ci si allacciava alla mente era quella di assumere per piano delle 

 xy il piano orizzontale menato per uno dei vertici del quadrilatero , a cagion di 

 esempio pel più basso , e per asse delle z la verticale menata in su pel medesi- 

 mo vertice. In questa ipotesi gli assi delle x e dell' y meglio appropriali a dare 

 la più semplice equazione della superficie , non potevano essere che i due lati 

 della pianta contigui al vertice ; ma in tal modo , da un canto 1' equazione della 

 superficie risultava bastantemente complicata , e dall' altro non era applicabile alla 

 medesima la consueta formola 



/^■" 



dxdym/ i -h 



f/=' 



cte' dxf 



la quale suppone che gli assi coordinati siano rettangolari. 



Per ovviare a quest'ultimo sconcio, e dare ad un tempo agli assi delle x e 

 delle y una disposizione simmetrica rispetto a quei due lati ( ciò che nelle ricer- 

 che analitiche è sempre pregevole e spesso utilissimo ), conveniva prendere per lali 

 assi la bisecante dell' angolo compreso dai due lati , ed una retta ad essa per- 



