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pendicolarc ; ma così l' equazione della superficie rondcvasi più complicala , e nel 

 caso generale reslava sempre , come era da aspettarsi , di secondo grado per 

 rapporto a z. La quale circostanza annunziando l' introduzione di un secondo 

 radicale nella formola precedente , che già ne contenea uno , e che poscia si do- 

 vca sottoporre alla doppia integrazione , pareva indicare che la misura della sU' 

 perficic potesse dipendere da trascendenti superiori alle ordinarie. 



Importava dunque moltissimo l' evitare questa complicazione senza punto di-- 

 minuire la generalità del procedimento , e ciò si ottenne mettendo a partito una 

 proprietà della paraboloide. E noto che 1' asse dj questa superficie , e tutte le 

 rette al medesimo parallele non la incontrano che una volta sola ; d' altra parte 

 l'asse è parallelo alla comune intersezione dei due piani direttori. Adunque sce^ 

 gliendo per uno degli assi coordinati, a caglon d'esempio per asse delle «, una 

 retta parallela all' asse della superficie , 1' equazione di questa dovea esser certa- 

 mente di primo grado per rapporto a z. Altronde ci fu agevole ottenere la po- 

 sizione di questo asse delle z ; poiché compiendo il parallelogrammo sopra i 

 due lati del quadrilatero storto , contigui al vertice assunto per origine delle coor- 

 dinate , la congiungente degli altri due vertici opposti al primo , uno nel qua- 

 drilatero r altro nel parallelogrammo , è una retta parallela all' asse della para- 

 boloide. 



8. Se non si avesse dovuto servire che alla semplicità dell' equazione della 

 paraboloide , niente di più acconcio che II prendere per assi delle x e delle y 

 i ridetti lati del quadrilatero , che allora chiamando j4 , B questi lati e <? la con- 

 glungenle dianzi nominata , 1' equazione della superficie trovavasi essere cori elcr 

 ganza e semplicità grandissima 



ma d' altra parte , essendo allora diversi dal retto tutti gli angoli contenuti da» 

 gli assi coordinati , la formola differenziale di secondo ordine per la quadratura 

 della superficie sarebbe stala Immensamente più composta della ordinarla. 



Abbisognava dunque un temperamento per ovviare a questa nuova dilBcoltà, 

 e noi abbiam creduto trovarlo ritenendo il detto asse delle ordinate , e prendendo 

 per piano di due novelle ascisse , cui denotammo con x* e ^', un piano perpendi- 

 colare a questo asse dal vertice adottato : definitivamente si scelsero per assi delle 

 a:' e delle ;/ le prolezioni dei lati ^ e ^ su qijesto piano. Questi assi tornano 

 ortogonali fra loro nella paraboloide retta , e nella obbliqua sono uniti sotto un 

 angolo qualunque <(> : in ogni caso poi dette o e ^ le altezze degli estremi dei 

 lati y^ e 5 sul piano delle x'»/' , ed /< e A le proiezioni de' medesimi lati su que^ 

 sto piano , r equazione della superficie si trovò essere 

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