il quale coli' uso delle formolc conosciute , di opporlune trasformazioni , di al- 

 quante integrazioni per parti , e di una sola integrazione di un fratto razionale 

 avente per denominatore un trinomio duplice reale , si trovò espresso da 



2jyA -i-4 arco tan. {x-iry 4- a) -h (a;V3r) log (y-H-A ) + (y^+Sy) log (a?+A) 



(8) 



dove i logaritmi sono neperiani , e per brevità a ticn luogo del radicale 

 f^ i -f-ar'-|-f/' . Questa formola è perfettamente simmetrica rispetto ad x ed y, 

 come doveasi attendere, e ciascuna delle sue parti e nei suo genere semplicissima. 

 i4.Piìi elaborata considerevolmente riusci rintegraziono della formola generale (5) 

 relativa alla paraboloide obbliqua. Eseguite con le regole conosciute la prima integra- 

 zione , relativa ad x, e l'integrazione della parte algebrica del risultamento rispetto ad 

 y . applicammo il meioào pei' parli alla funzione logni'itmica di questo medesimo ri- 

 sultamento , per cosi ridurre 1' Integrazione di tal l'unzione a quella di un nuovo 

 differenziale algebrico , il quale tornò espresso da un fratto irrazionale. Ma l'in- 

 tegrazione di questo fratto coi metodi ordinari ci avrebbe gettati in calcoli poco 

 meno che interminabili , se non ci fosse riuscito con opportune trasformazioni 

 spezzarlo in due , uno dei quali risultò espresso soltanto in y , e però fummo 

 dispensati dal cercarne l' integrale , potendosi questo intendere compreso nella 

 funzione arbitraria di y , che dovea completare la prima integrazione , e che noi 

 potevamo omettere stante la regola enunziala nel n° io. Il secondo fratto por 

 via di trasformazioni si spezzò pur esso in vari altri più semplici e d' integrali 

 conosciuti , tranne un solo , rispetto del quale non trovammo altro modo che di 

 liberarlo dal radicale. Ma la frazione che per tal mezzo gli fu surrogata non 

 era delle pitt facili ad integrarsi , avendo per denominatore un polinomio di quarto 

 grado mancante solo del secondo termine. Fortunatamente ci riusci risoverlo in 

 due trinomi razionali di secondo grado , e cosi ci si rese agevole pei melodi co- 

 nosciuti la ricerca dei corrispondenti numeratori , e poscia l'esecuzione delle ri- 

 spettive integrazioni. Dopo ciò riuniti gì' integrali delle singole parti , e fatte le 

 ovvie riduzioni , e qualche trasformazione trigonometrica , si ebbe 



/ / sdx(fy= (2-?-y— (^'+y') cos e)4- +-I- sen'o. arco tan Z±i^±i. J 

 «/ */ \ J b à i-f-cos <f f , V 



sen^v r -li" ''9/ 



+ — g— I («' + 3j)log(y— arcos<p-j-A) + (y' + 3//)log(z-_ycos^+ a) ] 



dove A surroga per brevità il radicale ^sen ' o + x' — 2xy cos <? + y* , ed è vi- 

 sibile , siccome nella formola precedente , la simmetria delle variabili x e y. 

 i5. Le formole (8) e (ij) sono, come ben si vede , lunghe e complicate; e 



