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punti doppi. Per le tangenti doppie non mi accennò la formola , 



i|iiasicliì' avesse voluto lasciare all' analisi tulio l' onore della ricerca. Intanto 

 volle compiacersi indicarmi che una curva di quarto grado ha vcnlollo tangenti 

 doppie , una curva di quinto centoventi , una curva di sesto trecento venti- 

 quattro j ed una curva di settimo grado settecento. È di somma importan- 

 za , come ognun vede , il trattare siffatte quistioni anche con l' analisi alge- 

 brica , formando non lieve perfezionamento alla teorica de' punti singolari del- 

 le curve : Uintoppiù che 1' applicazione immediata de' metodi finora conosciuti 

 non conduce a tali risultamenti. Così , per esempio , è noto che per ottenere i 

 punti di flesso bisogna porre il coefBcicnte differenzide di secondo ordine uguale 

 a zero , ed è pur facile vedere che se m è il grado dell' equazione proposta , 

 1 equazione suddetta viene del grado dm — 4 > sicché potrebbesi a prima giunta 

 credere che 1' eliminata fosse del grado m ( 3/rt — 4) > e quindi vi sarebbero 2rn 

 punti di flesso di più di quel che porta la formola del sig. Steiner. Ora par- 

 tendo dalla nota proprietà delle funzioni omogenee , che cioè se F è una fun- 

 zione omogenea di x e ài y del grado m , si ha 



dF dF 



X -i T — y = Tn¥ , 



dar dy 



mi è riuscito dimostrare che l' equazione ottenutasi coli' uguagliare il coefficiente 

 differenziale di secondo ordine a zero , combinata con l' equazione proposta, può 

 abbassarsi al grado 3/» — 6 = 3 ( m — 2 ) , e per conseguenza l'eliminata viene 

 appunto del grado Z m{m — a ). Vedesi adunque che non solo si viene per tal 

 guisa a presentar la formola cercata ; ma nel tempo stesso si hanno le più semplici 

 equazioni che bisogna trattare nei casi particolari per la determinazione de' punti 

 di flesso (*). 



In quanto a' punti doppi è nolo che se F = o è 1' equazione della cur- 



dF dF 



va , le equazioni — — = o , — j — = o determinano le coordinate dei punti mul- 

 tipli o coniugati , purché queste equazioni si accordino con la proposta ; onde 

 vi abbisogna una parlicolar condizione porcile vi possano essere punti multipli 

 in generale. Ammessa intanto questa condiziono si hanno tre equazioni una del 



••) Durante il soo soggiorno a Bomn il sig. Sloincr acrennò ni sig. Jacobi questa sua ricerca , e questi 

 la rinvenne con l'analisi dimosirondo ap|iimio che il grado dell'equazione di cui abbiamo fatto parola qui 

 sopra polca abbassarsi di due uniti, ma ignoro qual sia la via tenuta da questo insigne analista, nulla aven. 

 domi egli accennalo su tal proposito. Pe' punii doppi e per le tangenti doppie, mi diceva il sig. Sleiaer 

 non avere avuto alcuna risposta dal sig. Jacobi , onde pare che non dovette molto occuparsene. 



