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grado m e due del grado m — i che debbono sussistere simultaneamenle , 

 quindi si può fare l' eliminazione della y tra la prima e la seconda , e Ira la prima 

 e la terza , e le due equazioni risultanti in x debbono ammettere un divisore 

 comune , che uguagliato a zero darà le ascisse de' punti cercati. Ma per tal modo 

 mi sarebbe riuscito diflicile dimostrare che questo comun divisore non può sor- 

 passare il grado indicato dalla formola -^^ • Quindi ho osservato 



che indicando con « il maggior numero *di punti doppi che può ammettere una 

 curva del grado m , si può sempre immaginare una curva del grado n che passi 



, , n (n -h3) ., ., .-, 



per questi punti , cu essendo h i h numero de termini (.lie con- 

 tiene un equazione a due incognite del grado n , si avrà 1' equazione 



w ( « -i- 3 ) ^ 

 = --^^ , 



in cui ^ dinota un altro numero di punti presi anche sulla curva proposta da 

 assegnarsi con la condizione che per ogni valore di * , dia per n il minor nu- 

 mero intero che soddisfa all' equazione precedente. Ciò posto la curva del gra- 

 do n dovendo passare per gli » punti doppi , e per gli altri ^ punti presi ad 

 arbitrio sulla curva , poiché il numero de' punti che può avere con la curva 

 proposta che è del grado ?« non può essere maggiore di m n , si avrà 1" al- 

 tra condizione 7wra_2»-t-|3 e combinando queste relazioni , tenendo sempre 

 presente che » , ^ , n debbono essere numeri interi e positivi , ho dimostrato che 



il numero de punti doppi può essere al pui , la curva che 



passa per essi è del grado m — i , e può incontrare la curva data in un altro 

 numero di punti indicato dalla formola 2 [m — i ). 



Finalmente per le tangenti doppie ho trovato che per una curva del grado 

 m la formola che esprime il numero di queste tangenti è 



m {m — 2) {>n — 3 ) ( ;/i -4- 3 ) 



Ma questa formola non ho potuto farla vedere al sig. Steiner , imperocché es- 

 sendo stata r ultima ricerca da me intrapresa non mi è riuscito rinvenirla se non 

 <lopo la partenza di lui. 



