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(lunqiK! la differenza fll — HI' ira faia eon'ispondcnte ad un punto qualimque 

 P e loia miniiìia rclnliva al punto P è iKjnalc alt aia di un settore circolare 

 drtrntiinnto dairan/j/o/o B'OW nel cere/no che ha per raggio PP'. Si noti che se mai 

 il puiilo cade dall' altra parte della retta che unisce il punto B col punto B', 

 r angolo B'OB è maggiore di due retti , dovendo essere sempre uguale alla 

 s-oninia degli angoli che le tangenti condotte pc' punti 5 e 5" fanno con la y^T". 

 Quindi se la BB' fosse ima tangente comune delle due curve , o se le tan- 

 genti per gli estremi B e B' fossero parallele fra loro , ma non già alla AT, 

 la differenza tra un aia qualunque e F aia minima sarebbe uguale al semi- 

 cerchio che ha per raggio la congiungente il punto che si considera eoi putito 

 voìrispondente alt aia minima. 



Se poi le tangenti per le estremità B e B' sono parallele alla tangente co- 

 mune AT alle due curve nella prima posiziotie , la differenza suddetta è uguale 

 td cerchio che ha per raggio la distatiza del punto che descrive la curva 

 tjualunque , e del punto che determina /' aia minima. Se la curva mobile è 

 chiusa, e si fa rotare latito finché tutta venga ad applicarsi sulla curva ^s sa, 

 la differenza accennata uguaglia un cerchio avente per raggio la distanza fra 

 ì nominati punti più un settore dello stesso cerchio corrispondente all' angolo 

 che la tangente alla curva fissa comprende con la AT, 



Si vede pure che tutte le aie corrispondenti alle curve descritte da punti 

 ugualmente lontani dal punto P' sono uguali fra loro: e che per due curve 

 qualunque gli eccessi delle aie corrispondenti sull'aia minima sono proporzio- 

 nali a quadrati delle distanze che i punti i quali le hanno descritte serbano 

 dal punto P'. 



4. Dipendendo come si vede la quadratura delle curve in quislione dalla po- 

 sizione del punto P facciamoci ad esaminare più da vicino le espressioni delle 

 (juantiti che lo determinano. E da prima osserviamo che essendo 



dy -i- d5 = d. Mlt'=d. M'n T, 



n f 

 indicando con r' il raggio del cerchio osculatore in M' , si ha dy-t-ds = — — , 



onde il valore di C può porsi sotto la forma 



, P^ i ds d* \ 



Quanto ai valori di y^ e di 5 si rifletta primieramente che essendo 

 / T'ds. cos y = X cos y -r- I xy' sen?/.d« , 



/ x'As. sen y = x scn ;/ — / x-y' cos 7/.d« , 



liiiamando A e * i valori di x e di y quatido s = S , cioè i valori della corda 

 ,1ir ,' deiranffolo B'.IT , si ha 



