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In questa allorché la y si suppone costante si ottiene un' equazione di se- 

 condo grado tra a- e 2 che appartiene ad un' ellisse , onde tutte le sezioni paral- 

 lele al piano delle x e delle s sono ellissi , tranne quelle prodotte da' piani 

 corrispondenti alle equazioni y = o , y = ^, che passano cioè per le rette propo- 

 ste, i quali producono nella superficie queste medesime rette. Si vede intanto che 

 le due rette date e la superficie terminano un solido di cui si potrebhe cercare 

 il Tolume. È noto che indicando con f y 1' aia di una sezione parallela al pia- 

 no delle X e delle z , f (y. dy è la misura del suddetto volume. 



Or supponendo y costante nell' equazione (2) la curva che ne nasce è un'el- 

 lisse la cui equazione può porsi sotto la forma 



a^ y^ X' — 2a§yxz-i-\ ^' -»-o'(? — J/V W= -^o' y' { ^—yY ; 



altronde un ellisse la cui equazione è 



Ax'-hBxz-i-Cz' = F 



lia per semiassi t/^ -jj- , f/ -^ > essendo 



(3) 



A'= f ( A 4-C ) -i- T V^ B- -^- ( A - C)- , 



C'= f (A-+-C) — -^ /"B'-H-iA. 

 e quindi 1' aia è indicata da 



V^A'C V^iAC— B' 



dunque sarà 1' aia dell' ellisse espressa dall' equazione (3) , cioè la quantità tla noi 

 indicala con 



iy = -^ y {?—y) > (4) 



ed il volume del solido cercato sarà dato dall' integrale 



12. Se si riflette che il solido di cui ci siamo occupati termina a due estremi se- 

 condo due rette, e che l' aia della sezione media è data dalla formoli (4, 1 1) laccndo- 

 ^.j ,. _ -L ^^ e che perciò è uguale ad -7</<' , si vede che il valore ottenuto 

 pel volume del suddetto solido poteva ottenersi dalla formola (i, io) facendo in essa 

 p __ Q = , ed M = -^«rA* . Risulta intanto che l'aia della sezione media u- 



^ ry{?-y)ày = ^^/''^. (?) 



