368 4 



En cyklisk Kurve af anden Orden, der ligger helt i det endelige, skal kaldes 

 en cyklisk Ellipse. Har Kurven uendelig fjerne Punkter, vil vi for Kortheds 

 Skyld kalde den en cyklisk Hyperbel eller Parabel, eftersom de uendelig 

 fjerne Punkter er adskilte eller sammenfaldne. 



En cyklisk Kurve af tredie eller fjerde Orden kan have ét men ogsaa kun ét 

 Dobbeltpunkt. Vi vil først betragte de Kurver, der hverken har Dobbeltpunkt eller 

 noget uendelig fjernt Punkt. 



Det første, vi vil søge at bestemme, er Kurvens Toppunkter d. v. s. de Punkter, 

 hvor Krumningscirklerne har Røring af tredie Orden med Kurven. Disse Punkter 

 har i flere Henseender særlig Interesse. Saaledes ved man fra bekendte infini- 

 tesimalgeometriske Undersøgelser, der bygger paa de samme Forudsætninger som 

 de her benyttede, at de firpunktsrørende Cirkler giver Maxima og Minima af 

 Krumningsradierne. Ligeledes véd man sammesteds fra, at disse Krumningscirklers 

 Centrer vil være Spidser paa Kurvens Evolut. 



For at bestemme Toppunkterne bemærkes, at Krumningscirklen i et Punkt R 

 desuden skærer Kurven i ét og kun ét Punkt P; de søgte Punkter er de, hvor R 

 og P falder sammen. For at kunne bestemme Antallet af Sammenfaldspunkter, 

 maa vi først finde, hvorniange Punkter R der svarer til et givet P. For at se det, 

 er det simplest at invertere den givne Kurve ;- med P som Inversionscentrum. 

 Derved gaar ;-, hvad enten den er af 2den, 3die eller 4de Orden, aabenbart over i en 

 Kurve af 3die Orden. Udelukkes de ovenfor nævnte Tilfælde, har denne intet 

 Dobbeltpunkl og derfor tre Vendetangenter. Man ser heraf, at der gennem hvert 

 Punkt P af Kurven 7- gaar 3 oskulerende Cirkler, der berører udenfor P, d. v. s. til 

 hvert Punkt P svarer 3 Punkter R. For nu at kunne anvende det grafiske Korre- 

 spondanceprincip, maa man sikkre sig, at R og P løber i modsatte Retninger paa 

 Kurven. Dette ses ved følgende Hjælpesætning : 



Af to oskulerende Cirkler, hvis Centrer er forbundne ved en 

 endelig Bue af Evoluten, der ikke indeholder nogen Spids, maa den 

 ene ligge helt inden i den anden. 



Differensen mellem de to Cirklers Radius er nemlig lig med den Bue af Evo- 

 luten, der ligger mellem Centrerne og ikke indeholder nogen Spids, men denne 

 Bue er større end sin Korde d. v. s. end Cirklernes Centerlinie. 



Lad nu y^ og ^-g være to oskulerende Cirkler, af hvilke j-^ omslutter ;-.,. Idet 

 ingen af disse er firpunktsrørende. vil Kurven ;- i Røringspunkt R^ eller /?, med 

 en af disse Cirkler gaa fra den ydre til den indre Side eller omvendt. Vi lader nu 

 et Punkt M gennemløbe y saaledes at det i R^ udefra gaar ind i y^. Vi kan end- 

 videre antage ;-j og j-, valgte saa nær ved hinanden, at M ved at fortsætte sin 

 Bevægelse paa ;- i samme Retning naar R,, inden det naar noget af de enkelte 

 Skæringspunkter P^ og P„ mellem ;- og henholdsvis y^ og y^. M maa nu ved 

 denne Bevægelse naa P,, inden det naar Pj, thi ;-, ligger indeni y^. Paa ;- følger altsaa 

 Punkterne R^R, P.Pi paa hinanden i denne Orden; da der til en lille BueR^Rn maa 

 svare en lille Bue Pj P.^, maa derfor RogP bevæge sig i modsatte Retninger paa y. 



