5 369 



Nu giver Korrespondanceprincippet : 



(2) En cyklisk Kurve, der hverken har noget Dobbeltpunkt eller gaar 

 i det uendelige, har altid 4 Toppunkter. 



Toppunkterne kan ogsaa bestemmes paa en anden Maade som Sammenfalds- 

 punkter, nemlig mellem Røringspunkterne for en dobbelt berørende Cirkel til 

 Kurven. Lad en Cirkel berøre denne i M og skære den i ATj ; Cirklen vil da skære 

 endnu en Gang i et Punkt N.^. Holdes M fast, medens N^ varierer, vil ogsaa N, 

 variere, og det er let at se f. Eks. ved Inversion med Hensyn til M, at N^ og iV, 

 bevæger sig i modsatte Retninger. Der findes altsaa to Sammenfald. Af disse vil 

 det ene falde i et uendelig fjernt Punkt, naar Kurven berører den uendelig fjerne 

 Linie — den cykliske Parabel. Da de to Sammenfaldspunkter N, der svarer 

 til samme M, aldrig kan falde sammen, fordi Kurven er cyklisk, har man altsaa: 



(3) Til enhver cyklisk Kurve findes to adskilte Systemer af dobbelt- 

 rørende Cirkler, undtagen ved den cykliske Parabel, hvor der kun 

 findes ét System. 



Den sidste Del af Sætningen følger af, at Parabelen berører den uendelig 

 Ijerne Linie. 



Toppunkterne bestemmes ved Sammenfald mellem et Punkt M og et tilsvarende 

 Punkt N. Vi vil nu ikke give et nyt independent Bevis for (2), men gaa ud fra, 

 at der findes mindst ét Toppunkt A, og ved Hjælp deraf udlede, at M og N maa 

 bevæge sig i modsatte Retninger paa Kurven, saafremt denne ligger helt i det 

 endelige. Lad M være valgt i Nærheden af A, og lad os lægge en Cirkel, der 

 berører Kurven i M og desuden gaar gennem A. Det resterende Skæringspunkt A^ 

 mellem Kurven og Cirklen maa da ligeledes ligge i Nærheden af A; lad os sige, 

 at M og N begge ligger i et vist Omraade cu af Kurven omgivende A. Punkterne 

 M og A.j maa nu i w ligge paa modsatte Sider af A. 



Dette kan atter ses ved at invertere om A. Derved gaar nemlig Kurven over 

 i en Kurve af tredie Orden ;-', der har et uendelig fjernt Infleksionspunkt A^, 

 medens Cirklen gaar over i en Tangent t, der berører ;-^ i et Punkt M'-, der ligger 

 i Nærheden a{ AK AP og det enkelte Skæringspunkt Al mellem / og j-^ maa da 

 ligge paa modsatte Sider af A' i et vist Omraade af y^ omgivende A^. Inverterer 

 man nu tilbage, ses Paastandens Riglighed. Lad nu atter N^ og N., være de to 

 Skæringspunkter mellem Kurven ;- og en Cirkel, der berører denne i M. Naar AT, 

 bevæger sig i w fra A mod A.,, maa N., efter det tidligere bevæge sig ud fra A., i 

 den modsatte Retning; Sammenfaldspunktet N mellem N^ og iV., maa altsaa ligge 

 paa CO mellem A og A2; M og N vil derfor i m ligge paa modsatte Sider af A. 

 Men flytter nu M sig, maa ogsaa N flytte sig, og naar M bevarer sin Bevægelses- 

 retning, maa det samme være Tilfældet med iV, hvilket følger af Afhængighedens 

 gensidige Entydighed ; de skal endvidere falde sammen i A ; deraf følger, at M og 

 N bevæger sig i modsatte Retninger. Det er herved bevist, at to saadanne sammen- 

 hørende Punkter M og iV, der kan falde sammen i et Toppunkt, bevæger sig i 

 modsatte Retninger. Men ligger Kurven helt i det endelige, kan de to Punkter N, 



